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uchinyan |
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祝、WBC日本優勝！ う〜む、何かすごい！！
閑話休題。特に、マサルさんへ。 今週の問題とは関係ないので恐縮ですが、以前、マサルさんが出された問題に関係した話なので、ご興味があるかと思い。 お気付きかとも思いますが、#26967の後期の京大理系数学の６． ＞tan1°は有理数か。 これは、以前、この掲示板でマサルさんが#25021で出題された ＞y=sin xπ（0≦x≦1）のグラフ上の点で、x座標、y座標がともに有理数である点の個数を求めよ。 と関係があることをコメントしておきます。 京大の問題は、マサルさんの問題風に、次のように一般化できます。 y = tan(πx)（0≦x≦1）のグラフ上の点で、x座標、y座標がともに有理数である点の個数を求めよ。 答えは、容易に予想が付くように、(x,y) = (0,0), (1/4,1), (3/4,-1), (1,0) の四つです。 証明は、 (tan(πx))^2 = (1 - cos(2πx)/(1 + cos(2πx)) から、マサルさんの問題の結果を使って必要条件を求め、それから必要十分を絞り込むのが一番簡単ですが、 以前のマサルさんの#25104の証明をまねてもできます。ただ、今回は、少しデリケートな場合分けが必要になりそうです。 なお、より容易に試行錯誤的にできる、といっても、ちゃんと場合を尽くすのはそれなりに苦労しますが、 tan(m°) が有理数となるような整数の m を、決定せよ。 なんてのも、面白いかもしれません。 なお、m が有理数の場合は、1°= π/180 なので、先ほどの場合に等価になります。 |
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ネコの住む家
3月22日（水） 7:13:24
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