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uchinyan |
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[ごめんなさい。一部、間違いがありました。可能な範囲で修正しました。]
はい、こんにちは。 まずは、10周年、おめでとうございます。すごいですよね。これからも宜しくお願い致します。 さて、今回の問題ですが．．． 今朝問題を見てすぐに、三角関数の倍角の公式を使って、頭の中で答えは出ました。 ただ、その後、算数らしい解法が今一つ。一応私の考えた解法を書きますが、算数と中学数学の間ぐらいでしょうか。 (解法1) 実は一番苦労したのですが、一番算数らしいかも。 AD を D の方に延長して EF との交点を P とします。さらに、P より AE に垂線を下ろしてその足を H とします。 すると、AP//BE より、∠PAE = ∠AEB = ∠PEA なので、△PAE は PA = PE の二等辺三角形です。 そこで、△PAH ≡ △PEH で、しかも角度の関係から、これらの三角形は △AEB に相似です。 △AEB は 3：4：5 の直角三角形で AE = 5cm なので、AH = EH = 5/2, PA = PE = 5/4 * AH = 25/8 になります。 そこで、DP = AP - AD = 25/8 - 3 = 1/8 になります。 さて、明らかに △FPD ∽ △FEC です。そこで、FD：FC = DP：CE = (1/8)：1 = 1：8、FD：DC = 1：7 で、FD = 1/7 * DC = 3/7 cm になります。 したがって、△ADF = 1/2 * AD * FD = 1/2 * 3 * 3/7 = 9/14 cm^2 になります。 済みません。以下の二つの解法は、題意、図からすれば正しいのですが、論理的には抜けがありました。 一応、可能な範囲？で補いました。 (解法2) 方程式まがいです．．．が、これぐらいならば何とか算数かな。最初に思いつきました。後半が、もう少しうまくできないかなぁ。 EF を F の方に延長しそれに A から垂線を下ろしてその足を H とします。 [ここに論理的に抜けがありました。 H の位置を EF の F の方の延長上と仮定しています。題意、図からすれば正しいと思いますが、論理的には、検証すべきことです。 H が EF の間にある場合は、以下の議論の AH = 3cm が同様に成立しますが、 FE は、題意からすると、FC と一致することは無く、FC に関して E 側、A と反対側、にあるので、 AH と FC とは交点 X をもち、AH > AX > AD = 3cm に矛盾します。 H が F に一致する場合は、同様にして AH = 3cm がいえますが、これも、△ADF が直角三角形であることに矛盾します。 したがって、この仮定は正しいです。] まず、△AHE, △ABE において。 ∠AHE = ∠ABE = 90度、∠AEH = ∠AEF = ∠AEB、AE：共通なので、△AHE ≡ △ABE になり、AH = AB = 3cm、EH = EB = 4cm です。 次に、△AFD, △AFH において。 ∠ADF = ∠AHF = 90度、AF：共通、AH = 3 = AD なので、△AFD ≡ △AFH になり、FH = FD です。そこで、EF = EH - FH = 4 - FD になります。 ここで、AE と CF との交点を P とします。 △EFC において、∠CEA = ∠FEA なので、EC：EF = CP：FP です。EC = 1, EF = 4 - FD です。 また、△EPC ∽ △EAB なので、CP：BA = EC：EB = 1：4 となり、CP = 1/4 * BA = 3/4, FP = FD + (DC - CP) = FD + 9/4 です。 そこで、1：(4 - FD) = (3/4)：(FD + 9/4) になります。これから、FD = 3/7 cm となります。 したがって、△ADF = 1/2 * AD * FD = 1/2 * 3 * 3/7 = 9/14 cm^2 になります。 (解法3) [(解法2)との関係を明確にするために、前半を書き換えました。] 同じく方程式まがいです．．．やはり、後半に一工夫欲しいのだけれど。 BE 上に EP = EF となるような点 P をとり、P と F とを結び AE との交点を Q とします。 [ここに論理的な抜けがあります。 P の位置を BE の間にあると仮定しています。題意、図からすれば正しいと思いますが、論理的には、検証すべきことです。 しかし、以下の議論と同様に、△APE ≡ △AFE がいえます。つまり、P と F とは AE に関して対称です。 そこで、(解法2)と同様に A から EF に垂線を下ろしてその足を H とすると、H の AE に関する対称な点が B になります。 (解法2)の議論で、H は EF の F の方の延長上にあることが分かりますが、これは、P が BE 上にあることに対応します。 したがって、この仮定は正しいです。] △EFP は二等辺三角形で、∠PEA = ∠FEA なので、AE と PF とは直交します。また、△APE ≡ △AFE もいえます。 そこで、AP = AF なので、∠ABP = 90 = ∠ADF、AB = AD より、△ABP ≡ △ADF です。そこで、EF = EP = EB - BP = 4 - DF です。 さて、AE と CF との交点を R とします。 明らかに、△EFQ, △EAB, △ERC は相似で、3：4：5 の直角三角形です。 すると、△EFQ, △FRQ において。 ∠EQF = 90 = ∠FQR, ∠EFQ = 90 - ∠FEQ = 90 - ∠CEQ = ∠CRE = ∠FRQ なので、△EFQ ∽ △FRQ です。 つまり、△FRQ も 3：4：5 の直角三角形になります。 そこで、△EFQ において、FQ = 3/5 * EF = 3/5 * (4 - DF)、△FRQ において、FQ = 4/5 * FR = 4/5 * (DF + DR) になります。 DR = CD - CR = 3 - 3/4 * CE = 3 - 3/4 = 9/4 なので、結局、3/5 * (4 - DF) = 4/5 * (DF + 9/4) です。 これから、DF = 3/7 cm になります。 したがって、△ADF = 1/2 * AD * DF = 1/2 * 3 * 3/7 = 9/14 cm^2 になります。 [少し追加] (解法4) #26654に触発された解法です。 △AFD ≡ △AFH、FH = FD までは、(解法2)と同じです。 ここで、△AFH を、F を A に、A を F に、重ねるようにひっくり返します。このときの H の移動先を K とします。 すると、□KADF は長方形で、□KBEF は KF//BE の台形になります。面積を考えると、 □KBEF = 1/2 * (KF + BE) * CF = 1/2 * (3 + 4) * (DF + 3) = 7/2 * (DF + 3) □KBEF = □ABEH = △AHE + △ABE = 2 * △ABE = 2 * 1/2 * BE * AB = 2 * 1/2 * 4 * 3 = 12 そこで、DF = 3/7 cm になります。 したがって、△ADF = 1/2 * AD * DF = 1/2 * 3 * 3/7 = 9/14 cm^2 になります。 [追加終] いずれにせよ、いろいろな解法がありそうですね。 |
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ネコの住む家
2月12日（日） 12:50:25
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