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uchinyan |
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#26613, #26617
私の解法です。 1/(x+1) + 1/y + 1/{(x+1)y} = 1/1991 この式の分母を払って変形すると、 y(x+1) - 1991 * y - 1991 * (x+1) = 1991 (y - 1991)((x+1) - 1991) = 1991 + 1991^2 = 1991 * 1992 (x - 1990)(y - 1991) = 1991 * 1992 = 11 * 181 * 2^3 * 3 * 83 (x - 1990)(y - 1991) = 2^3 * 3 * 11 * 83 * 181 x, y は正整数を考えているので、この変形は同値変形であって、解が減ったり紛れ込んだりすることはありません。 さて、左辺の括弧は、正・負の両方を取ることができますが、同符号でなければなりません。 負の場合は、 -1989 <= x - 1990 < 0, 1990 <= y - 1991 < 0 なので、 0 < (x - 1990)(y - 1991) <= 1989 * 1990 < 1991 * 1992 となり、解はありません。そこで、 x - 1990 > 0, y - 1991 > 0 となります。したがって、右辺の整数の正の約数の数だけ、解が存在することになります。 右辺の整数の個数は、その素因数分解の指数から (3 + 1) * (1 + 1) * (1 + 1) * (1 + 1) * (1 + 1) = 64 つまり、解の個数は、64 個になります。 #26613の問題点は、 ＞(y+1)/(x+1)=(y-1991)/1991 から、 ＞x+1=1991m とする辺りと、後で m を整数に限定している点ですね。 最初の式は単に比の関係でしかないので、この限定、特に m を整数に限ったこと、が問題だと思います。 |
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ネコの住む家
2月6日（月） 10:55:31
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