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uchinyan |
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#26530
＞>a(n+m) = a(n) + 1/a(n) + 1/a(n+1) + ... + 1/a(n+m-1) ＞ここがすぐにピンとこなかったりするのですが・・・ これは単に、与えられた漸化式を使って、 a(n) + 1/a(n) + 1/a(n+1) + ... + 1/a(n+m-1) = a(n+1) + 1/a(n+1) + 1/a(n+2) + ... + 1/a(n+m-1) = a(n+2) + 1/a(n+2) + ... + 1/a(n+m-1) = ... = a(n+m-1) + 1/a(n+m-1) = a(n+m) という式変形です。 一般の場合ですが、#26529の追加部分をご覧ください。 n が大きくなると、スモークマンさんの方法は、今のままでは評価が甘くなります。 これは当然で、a(n) が少しずつ大きくなっていくので、実は無限大に発散する、(1/a(n))^2 <= 1/4 では不十分だと思います。 そこらから見直す必要がありそうです。 なお、私の方法だと、[a(n)] = k となる a(n) の個数は k 又は k+1 という強い条件が導かれているので、 n が大きくなっても評価の度合いはあまり変わらないようです。 k か k+1 か「確率的にどちらになるか半々」の仮定を証明するのは難しそうですが、 プログラムによるチェック、実験、では、正しそうな感じです。 この仮定のもとでは、[a(n)] は、 ＞(2) k >= sqrt(2n+1) - 1 を満たす最小の整数 k になります。これが [sqrt(2n)] と等しいかどうかはまだ証明できていませんが、 実際に少し計算した範囲では一致するようです。 |
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ネコの住む家
1月23日（月） 23:44:16
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