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uchinyan |
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#26524 他
ちょっと見ない間に、スモークマンさんの問題で盛り上がって、早くも、収束してしまいましたね。 #26526で解法は尽きていると思うので、その意味ではコメントはないのですが、 二乗することに気付かないでもうまくいかないのかなぁ、と思って、その方向を少し考えてみました。 ただし、解法としては、ナイーブだと思うのですが、その分、評価が不十分なので、残念ながら失敗作ですが、 結果はちょっと興味深いので、ご参考までに、報告しておきます。 まず明らかに、a(n) は単調増加です。そこで、今 a(n) の整数部分を k >= 2 とすると、 最初に整数部分が k になるものがあります。それを改めて a(n) とします。 このとき、a(n-1) < k で、 a(n) - (k + 1/k) = a(n-1) + 1/a(n-1) - k - 1/k = (a(n-1) - k) * (1 - 1/(a(n-1) * k)) < 0 つまり、a(n) の小数部分 b(n) は 1/k よりも小さくなります。 一方、a(n) に対して、 a(n+m) = a(n) + 1/a(n) + 1/a(n+1) + ... + 1/a(n+m-1) ですが、a(n+m-1) までの整数部分が k とすると、 1/(k+1) < 1/a(n+m-1) < ... < 1/a(n+1) < 1/a(n) <= 1/k m/(k+1) < 1/a(n) + 1/a(n+1) + ... + 1/a(n+m-1) < m/k そこで、a(n) の小数部分 b(n) も考えると m/(k+1) <= b(n) + m/(k+1) < b(n) + 1/a(n) + 1/a(n+1) + ... + 1/a(n+m-1) < b(n) + m/k < 1/k + m/k さて、a(n+m) の整数部分が k+1 になるには．．． 最後の不等式より、m <= k-1 では a(n+m) の k 以外の部分は 1 より小なので、m >= k が必要です。 また、最初の不等式より、m >= k+1 で a(n+m) の k 以外の部分は 1 以上なので、 m = k+1 で a(n+m) の整数部分が k+1 になれば、m >= k+2 でも成立します。 したがって、一般に、a(n) の整数部分が k で a(n+m) の整数部分が最初に k+1 になる範囲の m は k <= m <= k+1 になります。 つまり、これは、整数部分が k になるような a(n) の個数は、k 又は k+1 ということです。 この情報から、整数部分が k になるような a(n) の個数がすべて k の場合の、 整数部分が k までの a の個数の総数は、k(k+1)/2 です。 今は a(100) を考えているので、k(k+1)/2 >= 100 、つまり k >= 14 で条件を満たします。 これは、a(100) の整数部分が 14 になることを意味します。 しかし、残念ながら、整数部分が k になるような a(n) の個数がすべて k+1 の場合も考えられ、 この場合は、k = 1 は 1 個であることを考慮すると (k+1)(k+2)/2 - 2 >= 100 で、k >= 13 となります。 実際には、整数部分が k になるような a(n) の個数は k だったり k+1 だったりするので、 条件を満たす k は、13 か 14 か、これだけでは決定できないようです。 ただ、確率的にどちらになるか半々、と仮定すると、総数は大体 k(k+1)/2 + k/2 = k(k+2)/2 となり、 k = 14 となって、a(100) の整数部分は 14 だろうなぁ、と予想できます。 一応プログラムも組んで a(1000000) までチェックしてみましたが、 「確率的にどちらになるか半々」というのは、おおよそ、正しそうな感じです。正確に 1/2 ではないようですが．．． あ、もちろん、a(100) の整数部分が 14 というのもチェックできます。 もう少し評価をうまくやれば、このナイーブな方法でも、正解にたどり着けるかもしれません (^^; (ちょっと追加) a(n)を#26526の方法でそのまま評価すると (1) sqrt(2n) < a(n) < sqrt(2n + (n-2)/4) = sqrt(9n-2)/2 になるようです。一方、「確率的にどちらになるか半々」の仮定を入れた上記の方法では、 (2) k >= sqrt(2n+1) - 1 を満たす最小の整数 k になります。n = 20000 とすると、 (1) 200 < a(20000) < 212.13... (2) k >= 199.0024..., k = 200 プログラムによる計算では、[a(20000)] = 200 となりました。 スモークマンさんの予想、[a(n)] = [sqrt(2n)] は正しそうですが、(1)の評価は、そのままでは少し甘いようです。 当然ですが、(1/a(2))^2 + (1/a(3))^2 + ... + (1/a(n-1))^2 の評価の見直しが必要になりますね。 |
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ネコの住む家
1月23日（月） 22:56:40
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