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uchinyan |
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今日もいろいろ忙しく、今やっと、掲示板を読みました。
#26511, #26516, #26517 確かにそうですね ^^; 私の#26513の展開図及び相似云々は、結局同じことになるような気もしますが、イマイチですね。 #26512 うーむ、図はきれいなんだけど、ごめんなさい、見方がよく分からない (^^; #26509 私の#26513に基づいてやっても同じになりました。 計算の便宜上、立方体の一辺を 1cm とします。すると、同様に AX = x cm として、 AB, BC, CD, DA に対して、1 周目の光線の当たる点は、 AB 間：x, 1 - x, BC 間：1/x - 1, 2 - 1/x, CD 間：2x - 1, 2 - 2x, DA 間：2/x - 2, 3 - 2/x と各辺を分けていきます。そこで、1 周目で面エに収まるには、ギリギリ、 2/x - 2 = 1, x = 2/3 で、最初に面アに収まるには 0 < x < 1 だから、結局、2/3 < x < 1 です。 一方、BF 方向は、最初に面アに当たるときに y だけ下がるとすると、面エで、ギリギリ、 y + y * (1/x - 1) + y * (2 - 1/x) + y * (2/x - 2) = (y + y) + y * (2/x - 2) = y * 2/x = 1 になればよく、y = x/2 で、1/3 < y < 1/2 です。これから、1 周目の場合の#26513の台形の範囲が分かり、面積は、 S/9 = 1/2 * (1/3 + 1/2) * 1/3 = 1/9 * 5/4 実際には、立方体の一辺は 3cm なので、3 * 3 = 9 倍して 5/4 cm^2 でした。 同じことを n 周に拡張すると容易に計算できて、最後の DA 間は、2n/x - 2n, (2n+1) - 2n/x になります。 そこで、同様にギリギリを考えて、 2n/x - 2n = 1, x = 2n/(2n+1), 2n/(2n+1) < x < 1 (y + y) + ...n個... + (y + y) + y * (2n/x - 2n) = 1, y = x/2n, 1/(2n+1) < y < 1/2n になり、台形の面積は S/9 = 1/2 * (1/(2n+1) + 1/2n) * 1/(2n+1) = (4n+1)/(4n(2n+1)^2) S = 9(4n+1)/(4n(2n+1)^2) cm^2 になります。 |
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ネコの住む家
1月20日（金） 11:45:11
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