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uchinyan |
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次に、ｎ厨さんの問題 #26397
今回の問題には関係なさそうなので、ちょっと、とも思いますが．．．スモークマンさんのリクエストもあるので一応。 まぁ、一言で言えば、頭は使わなくとも、まじめにやればできますね。 (1) 正三角形の座標を、p = 4/sqrt(3) としておいて、X(0,2p), Y(-4,-p), Z(4,-p) とし、 共通内接円、共通外接円の中心と半径をそれぞれ (a,b), r, (c,d), R とすれば、半径と中心の位置関係から、 a^2 + (b-2p)^2 = (r+2)^2 (a+4)^2 + (b+p)^2 = (r+3)^2 (a-4)^2 + (b+p)^2 = (r+4)^2 c^2 + (d-2p)^2 = (R-2)^2 (c+4)^2 + (d+p)^2 = (R-3)^2 (c-4)^2 + (d+p)^2 = (R-4)^2 後はこれを r, R > 0 で解くだけだけど、a, b は r の、c, d は R の一次式で表せるので、r, R だけ注意すれば十分。 しかも、式の形から明らかに、R の方程式は r の方程式で r -> -R とすれば OK。 ゴニョゴニョやると、20r^2 + 120r - 261 = 0 となりますが、これが r > 0 で一つの解をもつことはすぐに分かります。 また、20R^2 - 120R - 261 = 0 ですが、これも同じ。 で、証明終わり。 ただ、こんなことしなくても、直感的には、次の考察から明らかといってもいいかもなぁ。 共通内接円、共通外接円の中心をそれぞれ P, Q とすると、条件から、 PX - 2 = PY - 3 = PZ - 4 = r, QX + 2 = QY + 3 = QZ + 4 = R なので、 PY - PX = 1, PZ - PY = 1, PZ - PX = 2, QX - QY = 1, QY - QZ = 1, QZ - QX = 2 これは、P が、X と Y とを焦点にもつ双曲線、Y と Z とを焦点にもつ双曲線、Z と X とを焦点にもつ双曲線の三つの交点であることを意味します。 双曲線は枝が二本あるのと、三つの線が共通の交点をもつかどうかは微妙ですが、図を描いてみれば、 Pが存在しそうなこと、枝のうち一本しか意味がなさそうなことは分かります。 となると、一個しかないだろうなぁ、というわけです。Q も同じ。 もちろん証明ではありませんが、算数的には、これで十分かも。 (2) 20r^2 + 120r - 261 = 0、20R^2 - 120R - 261 = 0 なので、チョコチョコやって、R - r = 6 だと思います。 |
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ネコの住む家
12月24日（土） 17:54:07
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