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พี่ชุณ(ぴーしゅん) |
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#26346
uchinyanさんの拡張問題が面白そうだったので少し考えてみました。 解の個数や一般的な構成方法はまだわかりませんが、特殊な構成方法をひとつ見つけました。 420 = (2^2)*3*5*7 7440 = (2^4)*3*5*31 121920 = (2^6)*3*5*127 ((2^n)-1)が素数(メルセンヌ素数 n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89 )であれば a = (2^(n-1))*3*5*((2^n)-1) が解になります。 n = 13 のとき ((2^13)-1) = 8191 が素数になり、 a = (2^12)*3*5*8191 = 503255040 n = 17 のとき ((2^17)-1) = 131071 が素数で、 a = (2^16)*3*5*131071 = 128848035840 n = 19 のとき ((2^19)-1) = 524287 が素数で、 a = (2^18)*3*5*524287 = 2061580369920 これは次のように証明できます。 aの約数の和 = (1+2+(2^2)+…+(2^(n-1)))*(1+3)*(1+5)*(1+((2^n)-1)) = ((2^n)-1)*4*6*(2^n) = 16*a/5 メルセンヌ素数は確か38個まで確定しているので、この構成方法で n = 2 を除き計37個の解を見つけたことになります。 |
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12月16日（金） 23:16:36
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