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uchinyan |
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#26293
えと、<x> = -[-x] の証明は、#26288に追加してあります。 ということは、一応、解決？ 実は、私が、理屈のレベルでは、よく分かっていなかったりする (^^; (理屈を追加) 議論も一段落したようなので、証明を考えてみました。地道に場合分けすればできるようです。 10000 円以下でありえない金額の個数が 10001 - <10001/(1+s/100)> となる証明： ここで、< > は切り上げのガウスの記号とします。つまり、<3.2> = 4, <5.7> = 6 などです。 なお、[ ] は通常の切り捨てのガウスの記号です。つまり、[3.2] = 3, [5.7] = 5 などです。 さて、10001/(1+s/100) = a+b、ただし、a > 0, 0 <= b < 1 とおきます。 また前提として、s は消費税なので、0 <= s と仮定します。 (1) b not= 0 の場合 まず、<10001/(1+s/100)> = <a+b> = a+1 です。そこで、 10001 - <10001/(1+s/100)> = 10001 - (a+1) = 10000 - a になります。 一方で、(a+b) * (1+s/100) = 10001、0 < b < 1 (今は b は 0 でない場合を考えている。) なので、 a * (1+s/100) < 10001 = a * (1+s/100) + b * (1+s/100) < a * (1+s/100) + (1+s/100) となり、 10000 - s/100 < a * (1+s/100) < 10001 つまり、10000 - s/100 < a * (1+s/100) < 10000 又は 10000 <= a * (1+s/100) < 10001 のいずれかです。 (1-1) 10000 - s/100 < a * (1+s/100) < 10000 の場合 10001 - s/100 < a * (1+s/100) + 1 < 10001, a * (1+s/100) + 1 < (a+1) * (1+s/100) なので、 一見、10001 - s/100 < (a+1) * (1+s/100) < 10001 又は 10001 <= (a+1) * (1+s/100) が可能に思えます。 しかし、10001/(1+s/100) = a+b < a+1 だったので、10001 < (a+1) * (1+s/100) となり、 10001 - s/100 < (a+1) * (1+s/100) < 10001 はありえません。つまり、[(a+1) * (1+s/100)] >= 10001 です。 さらに、10001/(1+s/100) = a+b > a も考慮して、10000 - s/100 < a * (1+s/100) < 10001、[a * (1+s/100)] <= 10000 なので、 可能な金額は a 個。したがって、不可能なのは 10000 - a になり、OKです。 ちなみに、b not= 0 のときは s not= 0 なので、10000 が抜ける可能性があります。 (1-2) 10000 <= a * (1+s/100) < 10001 の場合 明らかに、[a * (1+s/100)] = 10000 なので、可能な金額は a 個で、不可能なのは 10000 - a になり、OKです。 結局、いずれもが 10000 - a となり、成立します。 (2) b = 0 の場合 このときは、<10001/(1+s/100)> = <a> = a です。そこで、 10001 - <10001/(1+s/100)> = 10001 - a になります。 一方で、a * (1+s/100) = 10001 なので、明らかに、(a-1) * (1+s/100) = 10000 - s/100 < 10000 となり、 可能な金額は a-1 個で、不可能なのは 10000 - (a-1) = 10001 - a になり、OKです。この場合も、10000 が抜けますね。 以上で、証明は終わりです。 |
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ネコの住む家
12月6日（火） 12:37:42
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