|
uchinyan |
|
うーむ、#26226なんだけど．．．
＞空間座標においてx,y,zが整数である点を格子点と呼ぶ。 ＞辺の長さが√3の立方体（周を含める）はどんな位置にあっても少なくとも一つの格子点を含むことを証明せよ。 一次元ならば 1、二次元ならば√2、三次元ならば√3、．．．理由は、格子点が作る単位立方体の対角線の長さが√3 だから、 でも、直感的には、いいと思うんだけど、これでは証明になってないですよね。 どうもこういう直感的に明らかっぽいものの証明は難しいなぁ。こんな感じではダメでしょうか．．． 格子点のある空間内に一点 P を取り、それを基点に底面をPQRSとする一辺√3の立方体を作ることを考えます。 明らかに、P は格子点が作る何らかの単位立方体の表面又は内部にあります。 もし P が格子点だったら題意を満たすので、格子点でないとします。すると、P は単位立方体の頂点ではない点です。 このとき、P を中心に半径√3の球を書いてみると、単位立方体の一番離れている二点の距離は対角線の√3なので、 この単位立方体は球の中にスッポリと入ります。 さて、P を基点に底面をPQRSとする一辺√3の立方体を作ってみると、この底面PQRS上に格子点があるかないかのいずれかです。 ある場合は題意を満たすので、ない、とします。ない場合には、PQRSの両側に単位立方体の頂点、格子点、があります。 しかも、PQRSは、先ほどの球の大円の二本の接線と、 それらの二つの接点と P とを結んだ二つの半径のなす角度が90度になるその二つの半径とが作る正方形なので、 必ず、PQRSに垂線を下ろすとその足がPQRS上にあり、PQRSに関して反対側の二つの単位立方体の頂点、格子点、を取ることができます。(*) それらを結んだ長さは√3以下なので、それら格子点からPQRSに下ろした垂線の長さは√3より小さくなります。 そこで、これら格子点のうちPQRSより上部にある格子点は、PQRSを底面とする一辺√3の立方体の内部にあります。 一応、証明終わり。 ただ、間違いではないと思うのですが、(*) のところが少しあいまいです。 なお、これがいえないと、格子点が微妙に外れる可能性があります．．． さて、スモークマンさん、又は友人さんの名解答は？ |
|
ネコの住む家
11月27日（日） 12:54:18
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 26228 |