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uchinyan |
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はい、こんにちは。
今回の問題は、必ずしも簡単ではないと思いますが、よくあるパターンの組合せかな、という感じですね。 立体の折れ線の長さの最小問題なので、等価な平面の問題にして考えます。ちょっと難しくなりまずが、後との関係で、次のようにします。 まず、D と E、D と M、M と F を結びます。辺の関係、角度の関係などを調べると、DE = DM、∠EMF = 90度、EM = FM と分かります。 そこで、△EMF を EM を軸にして回転し、△DEM のある平面にのるようにします。F の移動先を F' とします。 すると、DP + PF = DP + PF' なので、D と P、P と F' を結んで最小にすればよく、最小は直線 DF' になります。 以下での P は、このときの P とします。 D より EM に垂線を下ろしその足を N とすると、∠DNP = ∠F'MP = 90度 なので、DN//F'M で、DP：PF = DP：PF' = DN：F'M です。 ところが、F'M = FM = EM なので、結局、DP：PF = DN：EM になります。つまり、△DEM の高さと底辺との比です。 そこで、△DEM = 1/2 * DN * EM より、DP：PF = DN：EM = (1/2 * DN * EM)：(1/2 * EM * EM) = △DEM：△MEF です。 ここで、まず、△MEF = 1/2 * □HEFG = 1/2 * 2 * 1 = 1 cm^2 です。 次に、△DEM は、△DEH、△DMH、△HEM をそれぞれ △DEM と共有する辺を軸にして回転させて、△DEM のある平面上にのせてみると、 角度の関係から、ちょうど、一辺 2cm の正方形から △DEH、△DMH、△HEM を引いたものになっていることが分かります。 そこで、△DEM = 2 * 2 - △DEH - △DMH - △HEM = 2 * 2 - 2 * 1/2 * 1 * 2 - 1/2 * 1 * 1 = 3/2 cm^2 です。 したがって、DP：PF = △DEM：△MEF = 3/2：1 になり、DP は PF の 3/2 倍になります。 なお、△DEM の面積の求め方は、浮浪さんのサイトで勉強しました ^^; |
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ネコの住む家
11月17日（木） 11:14:01
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