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uchinyan |
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#26115：スモークマンさんへ
お褒めに預かって光栄ですが、私の解法には、論理的におかしい箇所がありました。それは、最大公約数が 0 というのはナンセンスな点です。 修正しておきます。 今、a, b, c はいずれも 0 でないとし、|a|, |b|, |c| の最大公約数を g とします。 すると、a = gx, b = gy, c = gz、ただし、x, y, z は、1 又は -1 を除いて約数をもたない整数、と書けます。 a^3 + 2b^3 + 4c^3 = 2abc に代入すると、g^3 * (x^3 + 2y^3 + 4z^3) = g^3 * 2xyz ですが、 g は 0 でないので、x^3 + 2y^3 + 4z^3 = 2xyz が成立します。 ところがこの式から、x = 2x'、x' は整数、となるはずで、4(x')^3 + y^3 + 2z^3 = 2(x')yz になります。 すると、y = 2y'、y' は整数、となるはずで、2(x')^3 + 4(y')^3 + z^3 = 2(x')(y')z になります。 すると、z = 2z'、z' は整数、となるはずで、(x')^3 + 2(y')^3 + 4(z')^3 = 2(x')(y')(z') になります。 つまり、x, y, z は、(x')^3 + 2(y')^3 + 4(z')^3 = 2(x')(y')(z') を満たす整数 x', y', z' を用いて、 x = 2x', y = 2y', z = 2z' と書けることになります。 これは、x, y, z が、1 又は -1 を除いて約数をもたない整数だったことに矛盾します。 したがって、a, b, c のいずれかは 0 になります。 しかし、例えば c = 0 とすると、a^3 + 2b^3 = 0 で、a が 0 でない場合、b も 0 でなく、 先ほどと同様に、a, b の最大公約数を除いて互いに素とした後の a, b がやはり共通因数 2 をもってしまい矛盾します。そこで、a = b = 0 です。 他の場合も同様で、結局、a = b = c = 0 になります。 なお．．． もし、a, b, c が有理数、a = p1/q1. b = p2/q2, c = p3/q3 だとしても、同じく、a = b = c = 0 ですね。 (p1 * q2 * q3)^3 + 2 * (q1 * p2 * q3)^3 + 4 * (q1 * q2 * p3)^3 = 2 * (p1 * q2 * q3) * (q1 * p2 * q3) * (q1 * q2 * p3) となるので、p1 * q2 * q3 を a、q1 * p2 * q3 を b、q1 * q2 * p3 を c と新たに考え直せば、p1 = p2 = p3 = 0 しか解がないので。 無理数まで許せば、a^3 - (2bc) * a + (2b^3 + 4c^3) = 0 となり、a の3次方程式とみると、a には常に実数解があります。 なお、 一般に実数でも a, b, c >= 0 の場合には、a = b = c = 0 になります。それは．．． a, b, c > 0 の場合には、相乗相加平均によって、 2abc = a^3 + 2b^3 + 4c^3 >= 3 * (a^3 * 2b^3 * 4c^3)^(1/3) = 6abc より abc <= 0 なので、解は存在しません。 そこで、a, b, c のいずれかが 0 でなければなりませんが、 a = 0 ならば b^3 + 2c^3 = 0、b = 0 ならば a^3 + 4c^3 = 0、c = 0 ならば a^3 + 2b^3 = 0 なので、 a, b, c >= 0 では、a = b = c = 0 しか解はありません。 この問題は、c が 0 でないとして、x = a/c, y = b/c とおくと、 x^3 + 2y^3 + 4 = 2xy は有理数解をもたない と言い換えることもできるのではないでしょうか。 となると、楕円曲線もどき？の問題に化けるわけで、何かすごく高尚な問題のようにも思います。 ホントかいな？ (^^; |
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ネコの住む家
11月7日（月） 22:54:50
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