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uchinyan |
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#26065：マサルさんへ。
そうですか。でも、それを楽しい算数問題に取り上げられたのはさすがだと思います。 ただ、確かに今回の問題は取り組みやすかったという点で、折角の解法があまり議論されていないのは、残念に思います。 せめて、針金の長さを 8cm ではなくてもっと長くして、うーむ、20cm では長すぎるかな、苦労して計算すれば、ありがたみが身にしみたかも。 もっとも、プログラム派には、関係ないですけどね。 また、なかさんのすばらしい解説の書き込みが早すぎたのかも。 つまり、私が例によって変な解釈を長々とやって、その後で、なかさんの簡潔解説が出て、マサルさんの種明かし、 というシナリオの方がよかったのかなぁ、とか勝手なことを思ったり (^^; いずれにしても、皆さんにも、もっと 10C5 の面白さ、すばらしさ、そして 奇妙さ(一見、単位のあっていない感じの二つの数、一方は体積、もう一方は組合せの数っぽい、が偶然ではなく合理的に一致する！)、 を堪能して欲しい気がします。 (少し追加) ＞つまり、私が例によって変な解釈を長々とやって、その後で、なかさんの簡潔解説が出て、マサルさんの種明かし、 「変な解釈」の例です (^^; ナイーブな計算、高校レベル、で、(n+2)C5 をチェックしました。 針金の長さを n cm とします。今、i cm, j cm, k cm, i, j, k >= 1 に分けたとします。 すると、i + j + k = n なので、求める体積 V は、 V = ��[i=1,n-2]{��[j=1,n-1-i]{i * j * (n-i-j)}} 後は、これを計算するだけです。次の公式を使います。 ��[i=1,n]{i} = 1/2 * n(n+1) ��[i=1,n]{i^2} = 1/6 * n(n+1)(2n+1) ��[i=1,n]{i^3} = 1/4 * n^2 * (n+1)^2 ��[i=1,n]{i^4} = 1/30 * n(n+1)(2n+1)(3n^2 + 3n - 1) すると、 V = ��[i=1,n-2]{��[j=1,n-1-i]{i * j * (n-i-j)}} = ��[i=1,n-2]{��[j=1,n-1-i]{i * ((n-i) * j - j^2)}} = ��[i=1,n-2]{i * ((n-i) * 1/2 * (n-1-i)(n-i) - 1/6 * (n-1-i)(n-i)(2n-2i-1))} = ... = 1/6 * ��[i=1,n-2]{i(n-i)^3 - i(n-i)} = 1/6 * ��[i=1,n-2]{- i^4 + 3n * i^3 - (3n^2 - 1) * i^2 + (n^3 - n) * i} = 1/6 * {- 1/30 * (n-2)(n-1)(2n-3)(3(n-2)^2 + 3(n-2) - 1) + 3n * 1/4 * (n-2)^2 * (n-1)^2 - (3n^2 - 1) * 1/6 * (n-2)(n-1)(2n-3) + n(n-1)(n+1) * 1/2 * (n-2)(n-1)} = ... = 1/360 * (n-2)(n-1) * (3n^3 + 9n^2 + 6n) = 1/120 * (n-2)(n-1)n * (n^2 + 3n + 2) = 1/120 * (n+2)(n+1)n(n-1)(n-2) = (n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)/5! = (n+2)C5 で、確かに、一般には、(n+2)C5 cm^3 になります。 まぁ、こうしてしまえば、単なる式の計算なので、奇妙でもなんでもないですが。 |
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ネコの住む家
10月29日（土） 13:34:29
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