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uchinyan |
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どうも最近、私の書き込みが多過ぎる気がするので、自粛しようと思うのですが．．．
面白そうな問題があるとつい．．．ごめんなさい m(_ _)m スモークマンさんも自粛しましょうよぅ．．．^^; スモークマンさんの問題： ＞1cmより長く、55cmより短い10本の線分を考える。 ＞この10本の中から、三角形を作ることのできる3本の ＞線分を選ぶことができることを証明せよ。 三角形成立の必要十分条件は、三辺を a, b, c として、a + b > c, b + c > a, c + a > b です。 この証明は、どこかにあると思うので、省略します。 今、適当な三つの線分の長さを p cm、p + q cm、p + q + r cm、p > 1, q, r >= 0 とします。すると、三角形の成立条件は p > r になります。 これは、一番短い長さ ＞ 残りの二つの長さの差、を意味しています。 さて、1 cm より長く 55 cm より短い 10 本のいずれを取ってきても三角形ができないと仮定し、 最小の長さを p cm, p > 1 として、短い順に並べることを考えます。 三つの線分 p, p + q, p + q + r に対して、三角形ができないことから p <= r でなければなりません。そこで、最初の３本は、 p, p + q, p + q + r >= 2p + q になりますが、特に、最長のものが最小になる場合を考えると、q = 0 で、 p, p, 2p です。 同じことを４本目に対して考えると、p, p, 2p, 2p + r で、三角形ができない条件から p <= (2p + r) - 2p = r なので、 p, p, 2p, 3p ５本は、p, p, 2p, 3p, 3p + r で、三角形ができない条件から 2p <= (3p + r) - 3p = r なので、 p, p, 2p, 3p, 5p ６本は、p, p, 2p, 3p, 5p, 5p + r で、三角形ができない条件から 3p <= (5p + r) - 5p = r なので、 p, p, 2p, 3p, 5p, 8p 以下同様にして、三角形ができなくて、しかも、最長が最小になる 10 本を並べると、 p, p, 2p, 3p, 5p, 8p, 13p, 21p, 34p, 55p ところが、p > 1 だったので、55p > 55 cm となり、最小の場合でも最長の線分が 55 cm をはみ出してしまい、矛盾です。 そこで、三角形ができない 10 本の線分は存在しないことになります。 これって、フィボナッチ数列なんですね。面白い ^^/ |
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ネコの住む家
10月21日（金） 14:05:19
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