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uchinyan |
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ｎ厨さん、マサルさんへ：
ｎ厨さんの問題 ＞一辺aの正四面体のそれぞれの頂点を中心とする半径aの球をかくとき, ＞それら4つの球の共通な部分の体積を求めよ。 ですが、連休でまとまった時間が取れたので再考してみました。自信はないのですが、 V/(a^3) = (32 - 81c)π/12 + sqrt(2)/4 ただし、c は、cos(cπ) = 1/3, 0< cπ < π/2 を満たすもの。 という結果が得られました。 c という変なものが入っているので、間違っている可能性大ですが．．． ただ、実は、cπ は、正四面体の二つの面がなす角度です。その意味では、ひょっとして．．．？ ^^; ちなみに、正解は、いくつなのでしょうか？ 解法は、図を描かないと、いや、図を描いてもなかなか難しいのですが、ポイントだけ。 正四面体の頂点を A, B, C, D とします。なお、AB = a = 1 としておきます。 まず、A 及び B を中心とする球の共通部分の体積を求めます。これは、容易な積分で、V1 = 5π/12 になります。 そして、今求めた領域のうち、さらに、平面ABC と 平面ABD に囲まれた部分の体積を求めます。 これは、角度の比から、V2 = V1 * cπ/2π = 5cπ/24 です。 次に、A を中心にした球のうち、平面ABC、平面ABD、平面ACD で囲まれた部分の体積を求めます。 これは、z軸に垂直な平面で切って、とやると沈没しますが、極座標をうまく使うと容易にできて、V3 = (3c - 1)π/3 になります。 (もっとも、ここの積分は、多重積分を使わないと説明しづらいので、高校レベルでは厳しいかな。でも、東大を受けるくらいの子なら．．．) さて、ここで「う〜む」と考えると、面倒な辺CDの回りを含む部分 V4 は、V2 と V3 で表されるように思われます。 実は、ここらがちょっと自信がないです (^^; が、多分．．． 正確には、正四面体の中心を O として、V2 を平面OCD で切って半分にした立体と、正四面体の体積 v = sqrt(2)/12 を考えると、 V4 = 1/2 * (V2 - v) - 2/3 * (V3 - v) = 1/2 * V2 - 2/3 * V3 + 1/6 * v この根拠は、平面OCD などの中心 O と各辺を通る六つの平面が、正四面体を、したがって、求める立体を 1/4 にするということですね。 これを使うと、対称性より、求める体積 V は、a = 1 として、 V = 4 * 3 * V4 + v = 6 * V2 - 8 * V3 + 3 * v = 6 * 5cπ/24 - 8 * (3c - 1)π/3 + 3 * sqrt(2)/12 = (32 - 81c)π/12 + sqrt(2)/4 なお、V2、V3 で積分を使っていますが、この間の球面三角形の面積の期待値のときに使った球面上の幾何学の定理・公式を使うと、 積分なしで、それこそ算数っぽく、求められます。 もちろん、球面上の幾何学は高校でも習わないので、考え方は算数でも、実際には大学レベルになってしまいますが。 |
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ネコの住む家
9月25日（日） 16:02:44
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