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仮面ランナー サブスリー |
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マサル様:
寛大なご配慮ありがとうございます。同じくお言葉に甘えさせていただきます。 #25778 | ＞もっとも、広がりがある領域が見えなくても、すべての方向を考える際に重なりが出てくるし、 | ＞逆に見えても高々加算無限個ならば、すべての方向は連続無限なので、結果は正しくなりそうですが。 | という感じの考え方のようですね。 | 多分、それでいいのだろうと思いますが、そのレベルの議論でよしとするならば、 | 私や仮面ランナーサブスリーさんの解法でもよさそうな気がしますし、自然な気もします。 異論ありません。こちらの問題の議論は、これくらいにしておくとして．．． | #25776の方は、うーむ．．．どうなんだろう．．． | ＞最初の3点で囲まれる面積は、0〜4πr/2 の範囲を同じ確率で取る。（半球分） | ホント？ 私にとって "確率・場合の数" は昔からとくに苦手な分野ですので、 先に書いたように、有識者の方々のご意見をうかがう側にそろそろ 回りたいと思います。ただ、uchiyanさん(#25778)に話を振られた ので、最後に僭越ながら私の見解を述べてみます。 ★2次元のとき、 > 円周の長さが１の円がある。この円の周上に2つの異なる点 > をランダムに選ぶ。選んだ2点を両端とする円弧(２つあるが、 > つねに短い方を選ぶ)の長さの期待値はいくらか。 lim (n+1)/2(2n-1) として1/4を求めるのとは別に、 n→∞ 以下のような考え方もあると思います： 円弧の長さは2点の相対的な位置によって決定されるので、2点のうち の一方の位置をあらかじめ固定しておき、残りの1点をランダムに 選ぶ場合について考察しても、答は変わらない。 この場合、円弧の長さは残りの1点の選び方に応じて0〜1/2の範囲で 変動する。この範囲でどの値をとる確からしさも等しいと考えられる から、題意の期待値は1/2の半分、つまり1/4。 (答案おわり) 上の説明の最後の部分はもう少し厳密に議論するなら、たとえば 以下のように述べることができそうです： 残りの1点の相対的な位置、つまり固定された片方の点からの 円周に沿った道のりを x (0≦x≦1/2) とする。 (注意：ここで右回り、左回りは区別しないことにする。) ランダムにとった x が 区間 [0,x'] に入る確率は F(x')、 という形で確率分布関数 F(x) を定義すると、 F(0)=0, F(1/2)=1, dF(x)/dx=一定であることから、 F(x)=2x, dF(x)/dx=2 (→すこし回りくどいかも)。 よって、題意の期待値 = ∫x・dF(x) (積分区間 x:0→1/2 ) = ∫x・2 dx (積分区間 x:0→1/2 ) = 1/4. ★3次元のとき、 > 表面(球面)の表面積が１の球がある。球面上に3つの異なる点 > をランダムに選ぶ。これらの3点のうち2点ずつを測地線(大円) > (ただし短い方)で結ぶと、3本の測地線で囲まれた領域(曲面三角形)ができる。 > この領域の表面積の期待値はいくらか。 じつは1/4よりは小さいのではないかと考えました。 乱暴にいうと、 『1点を北極に固定して、残りの2点をランダムに決定したとき、 仮に残りの2点が南極にあったら、曲面三角形の面積はさらに 大きくなる。このように1点が北極、残りの2点が南極という 状況を考えることは、ちょうど2次元の問題を解くことと同じ。 だから、3次元の場合の答は、2次元の場合よりも小さな値に なるはず。』 となります。発想自体はたったこれだけのことなのですが、これ をより厳密に記述しようと苦労した結果、以下のような長い回答 ができあがりました。 (理由) 便宜上、球面を地球になぞらえて、球面上の座標を緯度, 経度, 極点などの言葉を用いて表現する。3点のうちの1点はあらかじめ 北極点に固定され、もう1点は東経0度の緯線上をランダムに動き、 残りの1点は球面の全範囲をランダムに動く、という制約条件を つけた場合について考察すればよい(2次元の場合の議論と同様の 理由から)。 東経0度の緯線上を動く点の緯度をθ ( -90°≦θ≦ 90°, ただし 南緯はマイナスの値、北緯はプラスの値で記す)、 球面の全範囲を動く点の緯度をφ (- 90°≦φ≦ 90°, 同上)、 球面の全範囲を動く点の経度をα (-180°≦α≦180°, ただし 西経 はマイナスの値、東経はプラスの値で記す)、 とする。 パラメータθ,φ,αは、3点の相対的な位置の選び方の自由度を 示している。この範囲で各パラメータがどの値をとる確からしさ も等しいと考えられる。 ランダムにとった θ,φ,α が -90°≦θ≦θ'、-90°≦φ≦φ'、-β'≦α≦β' (β'≧0°) を満たす確率は F(θ',φ',β')、という形で確率分布関数 F(θ,φ,β) を定義する。 ここで各パラメータの動く範囲は -90°≦θ≦ 90°、-90°≦φ≦ 90°、0≦β≦180° (注意：βの可動範囲はαの可動範囲の半分。) このとき、Fは確率分布関数なので当然、 ∫dF(θ,φ,β)=1 <積分区間 θ:-90°→ 90°、φ:-90°→90°、β:0→180°> また、 ∫dF(θ,φ,β) <積分区間 θ:-90°→ 90°、φ:-90°→90°> = F(90°,90°,β) = β/180° また、パラメータθ,φ,α(,β=|α|)によって決定される3点 によって囲まれる曲面三角形の面積を S(θ,φ,β) とする。 このとき、次の不等式がなりたつ。 S(θ,φ,β) ≦ S(90°,90°,β) = β/360° (＃) (∵関数Sはθ,φに関して単調増加) 以上から、 題意の期待値 = ∫S(θ,φ,β)・dF(θ,φ,β) <積分区間 θ:-90°→ 90°、φ:-90°→90°、β:0→180°> ≦ ∫(β/360°)・dF(θ,φ,β) <積分区間は同上> (★) = ∫(β/360°)・dF(90°,90°,β) <積分区間 β:0→180°> = ∫(β/360°)・d(β/180°) <積分区間 β:0→180°> γ=β/180°とすれば、 = ∫ (γ/2)・dγ <積分区間 γ:0→1> = 1/4 ところが、関数Sに関する評価式(＃)で等号が成り立つのは、 じつは θ=φ=90°のときだけで、ほとんど至るところでは S(θ,φ,β) < β/360°となる。 このため、(★) の 「≦」も、じつは「<」としてよい。 つまり、題意の期待値は1/4未満になる。 (理由おわり) #25772 で私が1/8と書いた根拠： あくまでも感覚的な根拠にすぎませんが、確率密度分布について ある種の対称性が存在するのではないか、との推測から、 ・北極点 ・経度 0°＆緯度0° ・東経90°＆緯度0° の3点で囲まれる曲面三角形(→全球の1/8)の面積、つまり1/8 が答、もしくは答は1/8に近い値のような気がする、ということでした。 |
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9月12日（月） 20:20:54
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