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仮面ランナー サブスリー |
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閑話休題。少し前にスモークマンさんから出された別の問題 #25727について。
スモークマンさん、なかさん、uchinyanさんのコメントを興味深く拝読しました。 各氏のコメントの通り、この問題の答は (n+1)/2(2n-1) ですが、 さらに n→∞ とすると、この確率は1/4に近づきます。 じつは、容易に分かるように、この事実は次の小問1、小問2の答が1/4であること と等価です。 [小問1] 与えられた円周上に3つの異なる点A,B,Cをランダムに選ぶ。 また、点A(B)から一番遠い円周上の点をA'(B')とする。 このとき、点A,B,Cが次の条件を満たす確率はいくらか。 <条件> 点CはA',B'を両端とする円弧(２つあるが、つねに短い方を選ぶ) の上にくる。 [小問2] 円周の長さが１の円がある。この円の周上に2つの異なる点 をランダムに選ぶ。選んだ2点を両端とする円弧(２つあるが、 つねに短い方を選ぶ)の長さの期待値はいくらか。 さて、ここから先が私が興味を持った疑問です： 『上の小問を三次元化すると、答はいくらか？』 つまり、 [本題] 表面(球面)の表面積が１の球がある。球面上に3つの異なる点 をランダムに選ぶ。これらの3点のうち2点ずつを測地線(大円) (ただし短い方)で結ぶと、3本の測地線で囲まれた領域(曲面三角形)ができる。 この領域の表面積の期待値はいくらか。 感覚的には、1/8あるいはそれに近い値となりそうな気がしますが、 解き方がわかりません。 球面座標系や三角関数を駆使して数学的に解こうとすると、少し複雑 な積分式が出てきたところで挫折...計算機で数値計算させる手も ありますが、まだ試していません。はたして算数的に解くのは無理？ もしも、三次元の場合でも算数的に解けるのであれば、n次元球面(n≧4) に拡張させた場合はどうなるのでしょう。興味が尽きません。 |
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寝床
9月11日（日） 5:20:42
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