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uchinyan |
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#25758で述べたように、論理的にすっきりした証明を思いついていないのですが、
取り敢えず、あまりいい解法とは思いませんが、#25757を改良して、私なりに論理的に納得できる解法を書いておきます。 まず、題意の図ですが、AB = AD = a、∠BAD = 108度となるように点を与えることで、△ABD が確定します。 さらに、CD = AD = a、∠ADC = 48度となるように点を与えることで、△ACD が確定します。 この二つのことから、□ABCD は確定することが分かります。 そこで、題意の図と同じ条件の図を作図できれば、二つの図は完全に一致します。つまり、合同になります。 さて、ここで、AB = AD = a、∠BAD = 108度に注目して、PQ = a となる正五角形PQRSTを考えます。 正五角形の性質から、∠PQR = ∠QRS = ... = ∠STP = 108度です。 P から対辺 RS に垂線を下ろしこの垂線上の点 U を ∠UST = 48度となるようにとります。 (このとき、US = a は仮定していないことに注意。) すると、∠USR = ∠RST - ∠UST = 108 - 48 = 60度になります。U と R とを結んでも同様で、∠URS = 60度です。 したがって、△URS は正三角形です。そこで、US = RS = a になります。 ここで、□TPUS に注目すると、TP = US = TS = a で、∠PTS = 108度、∠TSU = 48度となっており、 これは、題意の図の □ABCD の条件と同じで、最初に注意したように、□TPUS は □ABCD と完全に一致します。 つまり、今回の問題は、□TPUS で考えればいいことになります。そこで、∠BCD = ∠PUS です。 ∠PUS は、正五角形の対称性から、∠PUS = (360 - ∠RUS)/2 = (360 - 60)/2 = 150度なので、 ∠BCD = 150度になります。 |
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ネコの住む家
9月9日（金） 9:27:09
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