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uchinyan |
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#25757：この解法ですが、正五角形を仮定して、それに埋め込んでいますよね。
うーむ、図の四角形ABCDは一意に決定するので、間違いではないと思いますが、 証明したいことを仮定しているような気がして、私の#25755で、 ＞ただ、ちゃんと書き下した証明は、どうももう一つで、まだうまくできていません。 と書いたように、個人的には、ちょっとすっきりしていません。 少なくとも、正五角形に埋め込むならば、正三角形を導いた後は、対称性から、 ∠BCD = 1/2 * (360 - 60) = 150度 としていいような気もします。ただ、ここらが、論理的にすっきりしないのです。 まぁ、これは個人的な感じなので、私の方がおかしいのかもしれませんね (^^; なお、どうもすっきりしないので、三角関数ででもトライしてみました。 ただ、これもかなり難しい．．． ∠BCD = x とします。∠ABD = ∠ADB = 36度、∠CDB = 12度、を使います。 △ABD に正弦定理を使って、AB/sin(36) = BD/sin(108) です。 △CDB に正弦定理を使って、CD/sin(180-x-12) = BD/sin(x) です。 これらから、AB = CD なので、 sin(x)sin(36) = sin(x+12)sin(108) sin(x+12) を加法定理を使って展開し、cos(x) で両辺を割って整理すると、 tan(x) = sin(12)sin(108)/(sin(36) - cos(12)sin(108)) この後が大変ですが、加法定理などの諸定理を駆使して、右辺を sin(18)、cos(18) で表すと、 tan(x) = sin(30-18)sin(90+18)/(sin(2*18)- cos(30-18)sin(90+18)) = (1/2 * cos(18) - sqrt(3)/2 * sin(18))cos(18)/(2sin(18)cos(18) - (sqrt(3)/2 * cos(18) + 1/2 * sin(18))cos(18)) = (cos(18) - sqrt(3) * sin(18))/(3sin(18) - sqrt(3) * cos(18)) = (cos(18) - sqrt(3) * sin(18))/(-sqrt(3))(cos(18) - sqrt(3) * sin(18)) = - 1/sqrt(3) ここで、 tan(150) = tan(180-30) = - tan(30) = - 1/sqrt(3) なので、 tan(x) = tan(150) 0 < x < 180 なので、x = 150 になります。フー．．． この問題は、結局の所、よく知られたラングレーの問題の変種ですね。 |
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ネコの住む家
9月8日（木） 21:06:53
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