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uchinyan |
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スモークマンさん、なかさん、正多角形の確率問題、面白そうだったので、私も考えてみました。結局は、同じようです。
私の解法は、正多角形の辺の数が奇数であることを使って、ある頂点と中心 O を結んだ線がその頂点の対辺と交わることを使いました。 恐らく、基本的な点は、皆さんと同じだと思います。 まず、三角形の一点 A を正多角形の一つの頂点に固定します。 このとき、後の二点 B, C を自由に選ぶのは、(2n)C(2) = 2n(2n-1)/2 = n(2n-1)。 一方、中心 O を内部に含む場合は、残りの二点 B, C を、A と中心 O とを結んだ線の左右に一点ずつとることが必要です。 しかし、これだけではダメで、左側に二点目 B を選んだ後、右側の点 C は、B と O とを結んだ線に関して A とは反対に取る必要があります。 これは、C は、AO に関して B と反対側、BO に関して A と反対側、の、AO と BO との間にある頂点、に限ることを意味します。 したがって、C は、AO の左側の頂点 B のそれぞれに対して、1, 2, 3, ..., n 通り選べることになり、 結局、条件を満たす三角形は、1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 通り、になります。 したがって、確率は、n(n+1)/2 * 1/n(2n-1) = (n+1)/2(2n-1) です。 ただ、この解法が「スマート」かどうかは．．．疑問．．．^^; |
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ネコの住む家
9月2日（金） 21:53:24
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