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uchinyan |
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#25465, #25469, #25470：
マサルさん、済みません。お返事が遅くなりました。 算数っぽい解法もあるかなぁ、という気もしないではないですが、取り敢えず、座標を使いました。 ただ、あっさりと解けた、解いた？、ので、大きな見落としがあるかもしれません．．． L1 を x 軸にとり、A を原点にします。B は、yz 平面上のどこでもいいので、計算の簡単のために z 軸上にとり、AB = c > 0 とします。 L1, L2 の単位方向ベクトルを e, f とし、e, f とのなす角をθとします。ねじれの位置なので、θ = 0 はなく、0 < θ <= π/2 です。 ここで、AB⊥L1、AB⊥L2 を考慮して、e = (1,0,0) とすると、f = (cosθ, sinθ, 0) とおけます。 そこで、t, s を実数として、P = (t,0,0), Q = (s * cosθ, s * sinθ, 0) とおけます。 なお、PQ = (s * cosθ - t, s * sinθ, 0) です。 PQ と L1、及び PQ と L2 のなす角をφとします。題意からすると、0 < φ <= π/2 です。 ここで注意ですが、PQ もベクトルと考えた場合には向きがあるので、ベクトルPQとの角度は、0 〜 π と考えるべきと思われます。 つまり、ベクトルの内積を考える場合には、正負の両方を許すべき、ということです。以下では、これを仮定します。 (この点が、題意でちょっと気になる、といった点です。でもそう考えないと、式の上で4組取れなくなります。) (1) PQ と L1、及び PQ と L2 のなす角が等しいことと、先ほどの注意とから、ベクトルの内積を「・」で表すことにすると、 e・PQ = f・PQ 又は e・PQ = - f・PQ になります。これは、 s * cosθ - t = s - t * cosθ 又は s * cosθ - t = - s + t * cosθ です。0 < θ <= π/2 より 0 <= cosθ < 1 に注意すると、 s = - t or s = t となりますが、これは、|AP| = |BQ| を意味します。 (2) (1)のもとで、さらに、f・PQ = |PQ| * cosθ を追加します。これは、 s = t ot s = - t and e・PQ = |PQ| * cosθ or e・PQ = - |PQ| * cosθ を連立させて、s と t とについて解くことを意味します。 P, Q が4組取れるということは、s, t が4組取れることに対応します。 そこで、s を消去した後の t の方程式で、実数解が二つあることが必要です。 まず、e・PQ = ±|PQ| * cosθ を計算しておきます。 s * cosθ - t = ±sqrt((s * cosθ - t)^2 + (s * sinθ)^2 + c^2) * cosθ 両辺を二乗して変形すると、θ は 0 ではないので、 t * (t - 2 * s * cosθ) = c^2 * (cosθ/sinθ)^2 ここで、 (a) s = t の場合 (1 - 2 * cosθ) * t^2 = c^2 * (cosθ/sinθ)^2 これが、t に関して実数解を二つもつには、 1 - 2 * cosθ > 0 and cosθ not= 0 これから、 π/3 < θ < π/2 になります。またこのとき、 t > 0 の解は e・PQ = - |PQ| * cosθ の解に対応 t < 0 の解は e・PQ = + |PQ| * cosθ の解に対応 します。 (b) s = - t の場合 (1 + 2 * cosθ) * t^2 = c^2 * (cosθ/sinθ)^2 これが、t に関して実数解を二つもつには、 1 + 2 * cosθ > 0 and cosθ not= 0 これから、 0 < θ < π/2 になります。またこのとき、 t > 0 の解は e・PQ = - |PQ| * cosθ の解に対応 t < 0 の解は e・PQ = + |PQ| * cosθ の解に対応 します。 結局、以上から、 π/3 < θ < π/2 のときに、s, t は4組定まり、P 及び Q を4組取ることができると思われます。 |
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ネコの住む家
7月16日（土） 11:46:16
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