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uchinyan |
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(少し追加)
(解法4) #25106の(解法3)の置き換えをイメージした方が分かりやすいですが．．． アは 4 通り、イは 3 通りで、 ・ウがアと同じ色の場合は、ウは 1 通り、エは 3 通り、オは 2 通り。 ・ウがアと異なる色の場合は、ウは 2 通りで、 ・・エがアと同じ場合は、エは 1 通りで、オは 3 通り。 ・・エがアと異なる場合は、エは 2 通りで、オは 2 通り。 結局、4 * 3 * (1 * 3 * 2 + 2 * (1 * 3 + 2 * 2)) = 4 * 3 * 20 = 240 通り。 これは、#25105の(解法1)の修正版ですが、#25105の(解法2)のように、一般化が容易です。 #25106の(解法3)の置き換えで考えます。なお、n >= 4 とします。 今回の題意の場合の数を a(n)、一般に、n が 1 と異なる箱に入る場合の数を b(n)、n が 1 と同じ箱に入る場合の数を c(n)、とします。 すると、明らかに、 a(n) = b(n) b(n) = 2 * b(n-1) + 3 * c(n-1) c(n) = b(n-1) これから、 a(n) = 2 * a(n-1) + 3 * a(n-2) となり、#25105の(解法2)の漸化式が導けます。 なお、#25087のひろぼうずさんの解法は、 a(n) + a(n-1) = b(n) + c(n) = 3 * (b(n-1) + c(n-1)) = ... = 3^(n-3) * (b(3) + c(3)) = 3^(n-3) * (a(3) + a(2)) = 4 * 3^(n-1) が、a(1) = 4, a(2) = 12, a(3) = 24 より、n >= 3 で成立することと、a(2) = 4 * 3 から a(5) = 4 * 3^4 - a(4) = 4 * 3^4 - (4 * 3^3 - a(3)) = 4 * 3^4 - 4 * 3^3 + a(3) = 4 * 3^4 - 4 * 3^3 + 4 * 3^2 - a(2) = 4 * 3^4 - 4 * 3^3 + 4 * 3^2 - 4 * 3 ですね。これは、きれいだなぁ。 |
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ネコの住む家
5月20日（金） 11:49:52
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