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uchinyan |
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#25104：マサルさん、解法、ありがとうございます。
細かい点がちょっと気になったのですが、ロジックは正しいようです。 気になった点： ＞m,nは互いに素だから、mが奇数のとき、m^2と2n^2-m^2は互いに素で、右辺の分母はm^2であり、m≦m^2である。 偶数の場合もそうですが、「≦」の等号は意味があるのでしょうか？ もちろん、あり得ないのですが、等号がいえたとすると、以下の議論が微妙になります。 「<」でいいのでは？ ＞cos k(q/p)π=cos (2t/p)π （←qk = 2t とおく） ＞ =cos (ps+r)/p・2π （←2tをpで割った商をs、余りをrとおく） ここの等式が変です (^^; 2t = 2 * (ps+r) で、t = ps+r のようです。 この場合、kq が偶数でないと、t は整数にならず、商、余りが、意味がなくなります。 多分、今の場合、「cos 2^a・xπ」に対して考えるので、k は偶数としてよく、問題は生じないとは思います。 ＞となるが、rは高々p-1通りであるので、矛盾。 高々 p 通り？ cos(2π) は除いて考えているのですね、きっと。 実は、私は、4通りの方法を模索していました。 一つ目は、掲示板に書いた方法、 二つ目は、正多角形の外接円の半径と辺の比が有理数になる場合の検討、 三つ目は、ax = sin(πx), ただし、a は有理数、の場合の有理数解の検討、 四つ目は、マサルさんのように、三角関数の公式から、無限個の有理数が出現し、三角関数の周期性と矛盾するという方向、 です。 一つ目で解けたので、取り敢えず満足してしまいましたが、例の 「cos(π/n) が有理数」<=> 「cos(πm/n) が有理数」 は、四つ目の方向を模索していたときの副産物です。 四つ目の方向は、マサルさんの解法でスッキリしました。 なお、二つ目の方向は、 「正多角形の外接円の半径とその正多角形の一辺との比が有理数となるのは正六角形だけ。」 という興味深い命題とこの問題が関係が深いことを意味します。何か、算数っぽくできそうな気がするのですが．．． また、三つ目の ax = sin(πx) の有理数解は、0 <= x <= 1/2 に限定すると、a が 2 又は 3 に限られる、というやはり興味深い結果に等価です。 いずれにせよ、面白い問題をありがとうございました。 あ、もちろん、算チャレ問題も、いつも面白いですぅ ^^/ |
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ネコの住む家
5月19日（木） 17:46:33
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