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吉川 マサル |
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えと、ちょっと前の話題になりますが...。
最初の問題の書きこみ（#25021） uchiyanさんの解説（#25061） Toru Fukatsuさんの補足（#25065） この問題ですが、私は全然違う解法を用いました。（もちろんヒントがあったからなんですが）間違ってる部分があればご指摘頂ければ幸いです。 nを整数、mを自然数とし（m,nは互いに素）、cos πx=n/mとおく。（cosで議論して良い理由はuchiyamaさんの説明と同じ） m≧3を満たすmが存在すると仮定すると、 cos 2πx=2n^2/m^2-1 =(2n^2-m^2)/m^2 m,nは互いに素だから、mが奇数のとき、m^2と2n^2-m^2は互いに素で、右辺の分母はm^2であり、m≦m^2である。 mが偶数のとき、右辺の分母はm^2/2であり、m≦m^2/2 よって、m≧3であれば、cos 2^a・xπはすべて有理数で、全て異なる。 ところでp,qを互いに素な整数、kを自然数とするとき、 cos k(q/p)π=cos (2t/p)π （←qk = 2t とおく） =cos (ps+r)/p・2π （←2tをpで割った商をs、余りをrとおく） =cos (r/p)・2π となるが、rは高々p-1通りであるので、矛盾。 よって、m=1,2 （以下略） |
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PowerBook G4
5月19日（木） 13:10:34
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