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uchinyan |
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(不完全な表現があったので、少し修正しました。)
(さらに、冗長な部分があったので修正しました。#25067を参照。) #25021：何とか解けたようです。もっとも、証明に、穴があるかもしれませんが．．． 今回の問題とは全く関係ないので、概要だけ。 まず、個数は、(0,0), (1/6,1/2), (1/2,1), (5/6,1/2), (1,0) の 5 個です。 証明ですが．．． まず、sin(πx) = sin(π(1 - x)) より、0 <= x <= 1/2 に絞られ、sin(πx) = cos(π(1/2 - x)) より、cos(πx) で考えても OK です。 x = m/n, m, n は互いに素、とすると、πx = π * m/n = 2π * m/2n で、2π/2n は、正2n角形の中心角になります。 そこで、z = cos(πx) + i * sin(πx) とおいて、複素平面上の原点を中心とし、半径 1 の単位円に内接する正2n角形を考えます。 これは、z^(2n) = 1 を満たします。そして、z~ を z の複素共役とすると、z + z~ = 2 * cos(πx) です。 したがって、z + z~ が有理数となる場合を考えます。 z^(2n) = 1 から、z + z~ の方程式を導くと、その係数は、最高次数は 1 で、すべて整数となります。 z + z~ が有理数となるには、この方程式が有理数の範囲で因数分解できる必要がありますが、 係数の関係から、実は、整数の範囲で可能なことが必要です。 このことと、単位円で 0 <= x <= 1/2 としたので 0 <= z + z~ <= 2 とから、z + z~ = 0, 1, 2 がいえます。 これから、cos で、(1/2,0), (1/3,1/2), (0,1)、sin で (0,0), (1/6,1/2), (1/2,1)、で、 0 <= x <= 1 では、(0,0), (1/6,1/2), (1/2,1), (5/6,1/2), (1,0) だけが解となります。 なお、解いてから気になって調べてみたのですが、大学レベルの整数論、代数的整数論？、の知識を使えば、容易に解けるそうです。 今の私にはよく分かりませんが、ちょっと勉強してみようかな。 類題として、「格子点上に頂点をもつような正多角形は正方形だけ。」というのがあるらしいです。 私は知りませんでしたが、これは、有名問題らしいです。皆さんは、ご存知ですか？ |
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ネコの住む家
5月18日（水） 15:10:22
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