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uchinyan |
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はい、こんにちは。諸般の事情で、参加が遅れました (^^;
うーむ、実は、題意をうまく理解できず、かなり悩みました。 要するに、男性の座り方のパターンだけを要求しているのであって、座席の位置とか、人の区別はしなくていいということなのかな？ 何か釈然としないな．．．まぁ、上記の仮定のもとでの解法です。 多分どなたかとかぶるとは思いますが、せっかく考えたので、三つほど。 (解法1) 地道な方法です。 まず明らかに、男性の人数は、5人以下と分かります。それぞれの場合を考えます。 考え方のポイントとしては、列のそれぞれに男性が何人ずつ座るかで場合分けしていきます。 男性が0人の場合：女性だけなので、パターンとしては、1 通り。 男性が1人の場合：どこかに男性が座るパターンなので、10 通り。 男性が2人の場合：男性は、2 + 0 又は 1 + 1 に分かれます。 ・2 + 0 の場合：片側の2人の場合の数は、3 + 2 + 1 = 6 通りです。どちらの側に座るかで、2倍して、12 通り。 ・1 + 1 の場合：向かい側には座れないことを考慮して、5 * 4 = 20 通りです。 これらの合計で、12 + 20 = 32 通り。 男性が3人の場合：男性は、3 + 0 又は 2 + 1 に分かれます。 ・3 + 0 の場合：片側の3人の場合の数は、隣り合わせにならないことから 1 通りです。どちらの側に座るかで、2倍して、2 通り。 ・2 + 1 の場合：片側の2人の場合の数は、3 + 2 + 1 = 6 通りです。向かい側には座れないので、 反対側には、5 - 2 = 3 通り座れ、列の入れ替えで2倍して、6 * 3 * 2 = 36 通りです。 これらの合計で、2 + 36 = 38 通り。 男性が4人の場合：男性は、3 + 1 又は 2 + 2 に分かれます。 ・3 + 1 の場合：片側の3人の場合の数は、1 通りです。向かい側には座れないので、 反対側には、5 - 3 = 2 通り座れ、列の入れ替えで2倍して、1 * 2 * 2 = 4 通りです。 ・2 + 2 の場合：片側の2人の場合の数は、3 + 2 + 1 = 6 通りですが、向かい側には座れないことを考慮して、 6 通りのそれぞれの場合を調べると、(2 + 2 + 1) + (3 + 2) + 2 = 12 通りになります。 これらの合計で、4 + 12 = 16 通り。 男性が5人の場合：男性は、3 + 2 に分かれるしかなく、これははす向かいに座る 1 通りだけです。 列の入れ替えで2倍して、1 * 2 = 2 通りです。 パターンとしてはこれですべてなので、合計して、1 + 10 + 32 + 38 + 16 + 2 = 99 通りになります。 (解法2) 男性の人数で場合分けするのは同じですが、男性は向かい合わせには座れないことを利用して、ちょっと工夫します。 実際に座る場合を考える代わりに、紙を5枚用意して、その両端に男又は女と書き込み、その紙5枚を並べることを考えます。 男性が向かい合わせには座れないことは、紙の両端に「男男」が書けないことに対応し、5枚の紙を並べるのは、座席の配置に対応します。 男性が0人の場合：紙は同じ「女女」だけなので、その並べ方は、5!/5! = 1 通り。 男性が1人の場合：1枚だけ「男女」なので異なるパターンは二つ。その向きも考慮して、5!/4!1! * 2 = 10 通り。 男性が2人の場合：「男女」が2枚あります。 ・「男女」の紙の向きを揃える場合：異なるパターンは二つ。並べるときに男が二つ並んではいけないのでそれを除き、反対向きも考慮して、 (5!/3!2! - 4!/3!1!) * 2 = 12 通り。 ・「男女」の紙の向きを反対にする場合：異なるパターンは三つなので、5!/3!1!1! = 20 通り。 これらの合計で、12 + 20 = 32 通り。 男性が3人の場合：「男女」が3枚あります。 ・「男女」の紙の向きを揃える場合：異なるパターンは二つ。並べるときに男が二つ並んではいけないのでそれを除くと、 男女男女男、しかなく、反対向きも考慮して 1 * 2 = 2 通り。 ・「男女」の紙の向きを1枚反対にする場合：異なるパターンは三つで、2枚の揃っている側には男を並べないようにして、 さらに紙の向きも考慮すると、(5!/2!2!1! - 4!/2!1!1!) * 2 = 36 通り。 これらの合計で、2 + 36 = 38 通り。 男性が4人の場合：「男女」が4枚あります。 ・「男女」の紙の向きを1枚反対にする場合：異なるパターンは三つで、並べるときに男が二つ並んではいけないこと、 反対向きも考慮して 2 * 2 = 4 通り。 ・「男女」の紙の向きを2枚反対にする場合：異なるパターンは三つで、男を並べないようにその場合を除くと、 5!/2!2!1! - 4!/2!1!1! * 2 + 3!/1!1!1! = 12 通り。 これらの合計で、4 + 12 = 16 通り。 男性が5人の場合：5枚すべてが「男女」です。この場合には互い違いにするしかなく、向きも考慮して、1 * 2 = 2 通りです。 パターンとしてはこれですべてなので、合計して、1 + 10 + 32 + 38 + 16 + 2 = 99 通りになります。 (解法3) 列の椅子の数に関して、漸化式を作ります。今、一列に n 個の椅子がある場合のパターンの数を f(n) とします。 パターンの右端を考えると、向かい合わせに、女女、男女、女男のいずれかになっています。それぞれを、a(n)、b(n)、c(n) とします。 すると、明らかに f(n) = a(n) + b(n) + c(n) 次に、f(n) などを椅子が一列に (n-1) 個の場合のパターンから構成することを考えます。 右端が、女女、となるには、その左がどのようなパターンでも構わないので、 a(n) = f(n-1) = a(n-1) + b(n-1) + c(n-1) 右端が、男女、となるには、その左が、女女、か、女男、となっていればいいので、 b(n) = a(n-1) + c(n-1) 右端が、女男、となるには、その左が、女女、か、男女、となっていればいいので、 c(n) = a(n-1) + b(n-1) さらに、初期条件として、n = 1 の場合は、明らかに、女女、男女、女男、が 1 通りずつしかないので、 a(1) = b(1) = c(1) = 1 以上より、 a(1) = 1, b(1) = 1, c(1) = 1, f(1) = 1 + 1 + 1 = 3 a(2) = 3, b(2) = 2, c(2) = 2, f(2) = 3 + 2 + 2 = 7 a(3) = 7, b(3) = 5, c(3) = 5, f(3) = 7 + 5 + 5 = 17 a(4) = 17, b(4) = 12, c(4) = 12, f(4) = 17 + 12 + 12 = 41 a(5) = 41, b(5) = 29, c(5) = 29, f(5) = 41 + 29 + 29 = 99 となり、99 通り。 なお、対称性より明らかですが、b(n) = c(n) です。一般項も求められそうですが、まだ計算していません (^^; |
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ネコの住む家
5月5日（木） 21:07:33
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