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uchinyan |
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#24844 & #24855：
特に、#24855の ＞最初から、今回の問題では、1/3になることいえるのかな？ 簡単でした (^^v 今、5個の数字を選んでその和が3の倍数になったとします。 それら5個の数字にそれぞれ +1 をします。9の場合には10になりますが、この場合には9だけずらして、1を対応させます。 明らかに、こうして得られた5個の数字に等しいものはありません。 さらにこれらの数字の和を取ると、+5 又は +5-9 = -4 だけ変化するので、和は3で割って2だけ余る数になります。 つまり、この5個の数字で作られる5桁の数字は、3で割ると2だけ余ります。 同様にして、和が3の倍数の5個の数字に -1 をし、0となった場合には9を対応させることにすると、 それらの数字はすべて異なり、その和は、-5 又は -5+9 = 4 だけ変化するので、3で割って1余る数になります。 これらの操作は、逆もいえるので、3の倍数、3で割って1余る数、3で割って2余る数の間に1対1の対応が存在します。 そこで、3の倍数の個数は、全体の1/3になり、9P5 * 1/3 = 9!/4! * 1/3 = (9 * 8 * 7 * 6 * 5)/3 = 5040 通り。 この操作は、選ぶ数字の個数が3の倍数でない場合には同様にうまく機能し、3の倍数の個数は全体の1/3になります。 なお、選ぶ数字の個数が3の倍数の場合には、選んだ数字の和は3の倍数しか増減しないので、うまく機能しません。 もっとも、これだけでは、3の倍数の個数が1/3に「ならない」ことの証明にはなりませんが。 また、選べる数字が、1 〜 9 ということも重要ですね。例えば、1 〜 8 ではうまく機能しません。 (追加) かえって面倒になってしまいましたが．．． 選ぶ数字の枚数が3の倍数の場合、特に、3枚を選ぶ場合を考えます。6枚の場合でも同様です。 この場合、+1, -1 の操作によって、選んだ数字の和を3で割った余りは変わりません。 これは、この操作によって移り合う9組の3個の数字の組が、3で割った余りに関して同じ集合に属することを意味します。 したがって、選ばれた数字から作られる数、3の倍数、3で割って1余る数、3で割って2余る数それぞれの個数が、9の倍数になることを意味します。 そして、各桁の数字は、+1, -1 の操作で 1 〜 9 に変化します。そこで、例えば、下一桁の数字を 9 に固定できます。 このとき、作られる数の個数は、残る2桁を 1 〜 8 までの数字から作る場合の数を、9倍したものになります。 ところが、この2桁の数を作る数字の組合せは、8 * 7 / 2 = 28 通り(数として並べる場合はこの 2! 倍)で、 これが、3の倍数、3で割って1余る数、3で割って2余る数を作る数字の組合せの個数の和です。 つまり、作られる数が3の倍数となる場合は、この28通りの一部を、2倍し、さらに9倍したものでなければなりません。 したがって、28は3で割れないので、3の倍数の個数は全体の1/3にはなれません。 実際には、28 = 10 + 9 + 9 となり、3の倍数が 10 * 2 * 9 = 180 通り、3で割って1余る数が 9 * 2 * 9 = 162 通り、 3で割って1余る数は 9 * 2 * 9 = 162 通り、となります。 |
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ネコの住む家
4月7日（木） 21:52:09
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