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uchinyan |
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はい、こんにちは。(ちょっと修正しました。)
今回は比較的容易でしたが、算数の解法に少し手こずりました。 一応、算数っぽい解法と、数学っぽい解法を、書いておきます。しかし、まだ、算数としてはこなれてないですね (^^; (解法１) 題意から、パーティに集まった人の人数は、5の倍数と7の倍数を加えて表せない最大の数を求めていることになります。 そこで、まず、条件「5の倍数と7の倍数を加えて表せる数」について考えて見ます。 一般に、数を 7 で割ると 0 〜 6 の余りが生じますが、今は、5の倍数と7の倍数を加えて表せる数を考えるので、 余りを除いた7の倍数の一部を等しい「5の倍数とその余り」に置き換えて、7 で割った余り 0 〜 6 と合わせて5の倍数になればいいわけです。 7 = 5 * 1 + 2 なので、この余り 2 がポイントになります。この 2 と 7 で割った余り 0 〜 6 とを組み合わせて、5の倍数を作ります。 実際に調べると、 ０）7 で割った余りが 0 の場合：7の倍数なので、5の倍数は 0 として、常に条件を満たします。 １）7 で割った余りが 1 の場合：2 * 2 + 1 = 5 より、二つの 7 を 5+2 に置き換えると5の倍数が得られて、条件を満たします。 この場合の最小の数は、7 * 2 + 1 = 15 です。つまりこれ以上の１）型の数は、この操作で必ず、条件を満たします。 ２）7 で割った余りが 2 の場合：2 * 4 + 2 = 10 より、四つの 7 を 5+2 に置き換えると5の倍数が得られて、条件を満たします。 この場合の最小の数は、7 * 4 + 2 = 30 です。つまりこれ以上の２）型の数は、この操作で必ず、条件を満たします。 ３）7 で割った余りが 3 の場合：2 * 1 + 3 = 5 より、一つの 7 を 5+2 に置き換えると5の倍数が得られて、条件を満たします。 この場合の最小の数は、7 * 1 + 3 = 10 です。つまりこれ以上の３）型の数は、この操作で必ず、条件を満たします。 ４）7 で割った余りが 4 の場合：2 * 3 + 4 = 10 より、三つの 7 を 5+2 に置き換えると5の倍数が得られて、条件を満たします。 この場合の最小の数は、7 * 3 + 4 = 25 です。つまりこれ以上の４）型の数は、この操作で必ず、条件を満たします。 ５）7 で割った余りが 5 の場合：明らかに、7の倍数と5の倍数との和になっているので、常に条件を満たします。 ６）7 で割った余りが 6 の場合：6 = 5 * 1 + 1 なので、１）型に帰着し、１）型と +5 だけズレます。 この場合の最小の数は、１）型の最小 15 に 5 を加えた 20 です。つまりこれ以上の６）型の数は、この操作で必ず、条件を満たします。 以上のことから、条件を満たさない、「5の倍数と7の倍数を加えて表せない数」は、 ０）型：なし。 １）型：15 - 7 = 8 以下。 ２）型：30 - 7 = 23 以下。 ３）型：10 - 7 = 3 以下。 ４）型：25 - 7 = 18 以下。 ５）型：なし。 ６）型：20 - 7 = 13 以下。 となり、今回の問題の題意を満たす数は、最大で 23 となり、答えは 23 人になります。 (解法２) 要するに、n を自然数としたときに、5x + 7y = n が 0 以上の整数解 x, y をもたないような最大の n を求めることになります。 よく知られたように、この解は、t を整数として、x = 3n-7t, y = -2n+5t と書けます。 したがって、これらの x, y が 0 以上の整数にならない、 つまり、2n/5 <= t <= 3n/7 となる整数 t が存在しない最大の n を求めればいいわけです。 3n/7 - 2n/5 = n/35 なので、明らかに、n >= 35 の場合には、整数の t が少なくとも一つあります。 n < 34 では、0 < 3n/7 - 2n/5 < 1 なので、 3n/7 の整数部分 [3n/7] が 2n/5 の整数部分 [2n/5] より大きくないと t は存在しません。 n を 34 から一つずつ小さくして調べていくと、 [3n/7] > [2n/5] for n = 34, 33, ..., 24, [3n/7] = [2n/5] = 9 for n = 23, ... つまり、n = 23 で、初めて解がなくなります。したがって、最大の人数は、23 人になります。 |
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ネコの住む家
3月17日（木） 16:59:57
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