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uchinyan |
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はい、こんにちは。今回も難しかった．．．
なお、最初、座標を使って答えを出したことを白状しておきます (^^; どなたかと同じかも知れませんが、一応、解法です。 ちょっと複雑、はっきりいってスマートではない、なので、同じ解法はないかな。 六角形ABCDEFの中心を H とし、OH と切断面との交点を M とします。また、OB と切断面との交点を Z とします。 さらに、六角すいの切断面の上部の体積を v、六角すいの体積を V とします。 すると、V は、六角すいの側面 △OAB を底面とし頂点を H とする六つの三角すいの集まりと考えられます。 つまり、H から △OAB に下ろした垂線の長さを h とすると、 V = 1/3 * △OAB * h * 6 = 2 * △OAB * h 次に、v について考えます。M が切断面上にあることから、V の場合と同様のことがいえます。 つまり、v は、六角すいの側面を切断面で切った三角形を底面とし、頂点を M とする六つの三角すいの集まりと考えられます。 このときの高さは、対称性から、M から △OAB に下ろした垂線の長さとしていいですが、これは、次のようになります。 A と P とを結び、PD の中点を N として H と N とを結びます。対称性から、M は AP 上にあります。 H は AD の中点なので、中点連結定理より、AP と HN とは平行です。 一方、OP : PN : ND = 1 : 1 : 1 なので、OP = PN となり、M は AP 上にあったので、MP は HN と平行になり、 中点連結定理の逆より、OM : MH = 1 : 1 になります。つまり、OM : OH = 1 : 2 です。 そこで、M から △OAB に垂線を下ろすと、H から △OAB に下ろした垂線の長さ h の半分、1/2 * h になります。 したがって、対称性も考慮すると、 v = 1/3 * (△OPX + △OXZ + △OZA) * 2 * 1/2 * h = 1/3 * (△OPX + △OXZ + △OZA) * h 以上のことより、 v/V = 1/3 * (△OPX + △OXZ + △OZA) * h / 2 * △OAB * h = 1/6 * (△OPX + △OXZ + △OZA) / △OAB となります。ここで、これらの三角形の角度のうち、六角すいの O の回りの角度は等しいので、 △OPX / △OAB = OP/OA * OX/OA △OXZ / △OAB = OX/OA * OZ/OA △OZA / △OAB = OZ/OA * OA/OA = OZ/OA となり、 v/V = 1/6 * (OP/OA * OX/OA + OX/OA * OZ/OA + OZ/OA) なので、六角すいの O からの切断面への辺の比が分かれば答えが求まります。 これを求めるには、再び対称性を使うと、次のようにして △OAD に帰着できます。 AD と BF, CE との交点を S, T とし、OS, OT と切断面との交点を U, V とします。 すると、対称性から明らかに、XY, CE は平行で、OX/OA = OX/OC = OV/OT、同様に OZ/OA = OU/OS です。 そこで、△OAD について考えます。すると、OP/PD = 1/2, AS : ST : TD = 1 : 2 : 1 なので、 メネラウスの定理を使って、 OV/VT * TA/AD * DP/PO = 1, OV/VT * 3/4 * 2/1 = 1, OV/VT = 2/3, OV/OT = 2/5 = OX/OA OU/US * SA/AD * DP/PO = 1, OU/US * 1/4 * 2/1 = 1, OU/US = 2/1, OU/OS = 2/3 = OZ/OA したがって、OP/OA = 1/3 も使って、 v/V = 1/6 * (1/3 * 2/5 + 2/5 * 2/3 + 2/3) = (1 + 2 + 5)/45 = 8/45 |
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ネコの住む家
3月4日（金） 13:50:51
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