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uchinyan |
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はい、こんにちは。
最近は、体調及び仕事の関係で、リアルタイム参加ができませんが、その分、じっくり考えて参加してます (^^; さて、今回の問題ですが、最初、体積を求めるとばかり思って、どうしてもルートが残り算数では解けない、 おかしい、と思っていたのですが、表面積なのですね。なぁーんだ、という感じ。 折角なので、ルートを使って計算し、容易に、36cm^2 を得ました。 そこで、心を落ち着けて、算数を考えました。如何に等積変形するかですね。 まぁ、いろいろと考えられそうで、もっと簡単な方法もありそうですが．．． ちょっと長くてごめんなさい。 まず、図2の角柱の上下の底面の六角形について。これは、図1の六角形です。 図1を見ていれば明らかですが、この六角形は、 頂角が30度の二等辺三角形 A 三つと、中央の正三角形 B 一つとに分解できます。 A の等辺の長さを a、B の一辺の長さを b としておきます。なお、A の底辺は b になります。 ここで A を二つに等分割して並べ替えると、六角形の欠けた部分、 等辺の長さが a で底辺の長さが 6cm の二等辺三角形 C に一致します。 つまり、面積が等しいです。 したがって、この六角形は、図1の上部の A を取り去り、底部の C を加えた台形の面積に等しくなります。 ここで、この台形は、低角が45度で等しい等脚台形です。 つまり、 (六角形) = 3 * A + B = 2 * A + B + C = (等脚台形) となり、結局、 (角柱の上下の底面) = 2 * (六角形) = 6 * A + 2 * B = 2 * (等脚台形) 次に、図2の角柱の側面の長方形について。 これは六つありますが、三つをつなげると、一辺が a の正方形を二つ作れます。 この正方形の中に、一つの頂点を共有し頂角で直角を三等分するように A を三つならべることができます。 このとき、共有する頂点の向かい側の正方形の頂点と、三つの A の底辺の頂点とを結ぶと、 角度(及び A を二つつなげた部分に正三角形ができる)などの関係から、 両端に等辺が b で底辺が a の二等辺三角形 D が二つ、中央に一辺が b の正三角形 E ができます。 この E は、明らかに B と一致します。 さらに、D は頂角が150度で等角が15度なので、その面積は 1/2 * b * (1/2 * b) = 1/4 * b^2 になります。 これは、一辺 b の正方形 F の 1/4 です。これが後で重要になります。 D は二つあることに注意すると、結局、 (一つの一辺 a の正方形) = 3 * A + B + 1/2 * F 一辺 a の正方形は二つできるので、 (角柱の側面) = 6 * A + 2 * B + F 六角形の場合の考察から、 (角柱の側面) = 2 * (等脚台形) + F 以上のことから、 (角柱の表面積) = 4 * (等脚台形) + F = 4 * (等脚台形) + (一辺 b の正方形) ところが、この等脚台形は、45度の低角を二つくっつけて、 四つを一辺が 6cm の正方形を作るようにならべることができます。 このとき、中央に空白ができますが、角度の関係から、なんと、一辺が b の正方形になります！ これが、ちょうど、F = (一辺 b の正方形) に等しくなります！！ したがって、 (角柱の表面積) = (一辺 6cm の正方形) = 6^2 = 36 cm^2 になります。 うまくできた問題ですね。 |
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ネコの住む家
2月24日（木） 15:10:13
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