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uchinyan |
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#24023及び#24025のほげさんの解法はお見事なのですが、ちょっと間接的な点が気になりました。
それと、#24009の小学名探偵さんの解法は、確かに誤りなのですが、7C3を直接的に説明している点、何かありそうでひっかかっていました。 そこで、少し考えてみたのですが、#24009を改良した次のような解法はダメでしょうか？ 10角形の頂点に、1から順に10まで番号をつけます。そして、1を固定して考えます。 #24009と同様に、1の両側、2と10とを除いた7個の点から3個選んできます。これを、a, b, c とします。3 <= a < b < c <= 9 です。 また、1, a, b, c からできる四角形を(1,a,b,c)、a, b からできる辺を(a,b)などと書くことにします。 ここで、私の#24022の解法からも分かるように、4点からできる四角形が題意のような対角線の交点をもつためには、向かい合う対辺が対角線になっていればいいわけです。 ナイーブに、(1,a,b,c)をとってくるとダメな場合がありますが、ちょっとトリッキーですが、(1,a-1,b,c)を考えたらどうでしょうか。 a >= 3 なので、この四角形は実現可能です。 この四角形は、(a-1,b), (c,1)を対辺とし、これらは10角形の対角線になっています。したがって、この2辺から題意の交点が一つ得られます。 この場合、残念ながら、(1,a-1)と(b,c)とは、対角線になっているとは限らないので、この四角形に関してはこれであきらめます。 しかし、c <= 9 なので、(1,a,b,c+1)を考えることができ、(1,a)と(b,c+1)とが対辺で対角線になっており、やはり題意の交点が一つ得られます。(a,b), (c+1,1)は、やはりあきらめます。 整理すると、(1,a,b,c) => (1,a-1,b,c), (1,a,b,c+1) という操作をし、それぞれに対して、一つずつ、都合、二つの題意の交点を得ます。 後は、#24009と同じで、7C3の一つの選択に対して二つずつ交点が得られますが、1を固定していたので1から10まで動かして10倍、(1,a,b,c)のとり方が4倍の重複になるので1/4倍します。 したがって、求める個数は、7C3 * 2 * 10 * 1/4 = 175 個。 もちろん、一般の場合にも拡張できて、1/2 * n * (n-3)C3 = n(n-3)(n-4)(n-5)/12 間違ってるかな？ |
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ネコの住む家
11月12日（金） 15:44:28
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