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すてっぷ |
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期限切れですが，前回(第245回)の答案です。
省略できるところもくどく書き，長くなりました<m(__)m> ３人の勝ち・負け・引き分け・勝ち点を 勝 負 分 点 ツヨシ a1 b1 c1 d1 トモエ a2 b2 c2 d2 マサル a3 b3 c3 d3 のように記すことにします。 ３人は互いにn試合ずつ対戦するものとします。 (注) 以下(30)までに 『解が存在するための“必要条件”として n≧7』 が導かれます。 このとき，題意より (1) c1=2*n-(a1+b1),d1=2*a1+c1=2*n+(a1-b1) (2) c2=2*n-(a2+b2),d2=2*a2+c2=2*n+(a2-b2) (3) c3=2*n-(a3+b3),d3=2*a3+c3=2*n+(a3-b3) 勝ち負けに過不足はないので (4) a1+a2+a3=b1+b2+b3(=sとします。) 勝ち・負け・引き分けにかかわらず，合計２点が与え られるので，３人の勝ち点の合計は3*(2*n)=6*n (5) d1+d2+d3=6*n 題意より (6) d1>d2,d1>d3 したがって，(1),(5)と(6)より d1≧(d1+d2+d3)/3+1 ⇔2*n+(a1-b1)≧2*n+1 よって (7) a1-b1≧1 その他の“必要条件”を書き出してゆきます。 (8) a2>a1,a2>a3 (9) b1>b3,b2>b3 (10) d1>d2⇔2*n+(a1-b1)>2*n+(a2-b2) ⇔b2-b1>a2-a1 これと，(8)よりの a2-a1>0 から (11) b2-b1≧2 同様に (12) d1>d3⇔2*n+(a1-b1)>2*n+(a3-b3) ⇔a1-a3>b1-b3 これと，(9)よりの b1-b3>0 から (13) a1-a3≧2 まとめて (14) a2>a1≧a3+2 (15) b2≧b1+2>b3+2 マサルさんの勝ち試合数a3は，ツヨシ君またはトモエさん の負け試合数の合計(b1+b2)を越えることはないので (16) b1+b2≧a3 同様に (17) b2+b3≧a1 (18) b3+b1≧a2 マサルさんの引き分け試合数c3は，ツヨシ君またはトモエさん の引き分け試合数の合計(c1+c2)を越えることはないので (19) c1+c2≧c3 したがって {2*n-(a1+b1)}+{2*n-(a2+b2)}≧2*n-(a3+b3) ⇔2*n≧(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)-2*(a3+b3) ⇔2*n≧2*s-2*(a3+b3) ⇔n≧s-(a3+b3)=a1+a2-b3=b1+b2-a3 これと，(16)よりの b1+b2-a3≧0 から (20) n≧a1+a2-b3=b1+b2-a3≧0 同様に (21) c2+c3≧c1 (22) c3+c1≧c2 より，それぞれ (23) n≧a2+a3-b1=b2+b3-a1≧0 (24) n≧a3+a1-b2=b3+b1-a2≧0 (7),(14),(15)より (25) a2>a1≧b1+1>b3+1 したがって (26) a1≧b3+2 (27) a2≧b3+3 これらと(20)よりの n≧a1+a2-b3 から n≧(b3+2)+(b3+3)-b3=b3+5 よって (28) n-5≧b3 (18)より b3≧a2-b1 (25)より a2≧b1+2 したがって (29) b3≧(b1+2)-b1=2 (28),(29)より n-5≧2 よって，解が存在するための必要条件として (30) n≧7 が導かれました。 以下では (30) n=7 とします。 (28),(29)より (31) b3=2 (26),(27)と(30)より (32) a1≧4 (33) a2≧5 (20)と(30),(31)より 7≧a1+a2-2 したがって (34) 9≧a1+a2 (32),(33)と(34)より (35) a1=4 (36) a2=5 (7),(35)と(15),(31)より 3≧b1>2 したがって (37) b1=3 (4)に(31),(35),(36),(37)を代入して (38) b2=a3+4 (14),(35)より 4≧a3+2 したがって a3=0,1,2 (15),(37)より (39) b2≧3+2=5 (イ) a3=0 のとき，(38)より b2=4(<5) これは，(39)より不適です。 (ロ) a3=1 のとき，(38)より b2=5 このとき，３人の勝ち・負け・引き分け・勝ち点は 勝 負 分 点 ツヨシ 4 3 7 15 トモエ 5 5 4 14 マサル 1 2 11 13 となり，題意を満たします(十分)。 (ハ) a3=2 のとき，(38)より b2=6 このとき，３人の勝ち・負け・引き分け・勝ち点は 勝 負 分 点 ツヨシ 4 3 7 15 トモエ 5 6 3 13 マサル 2 2 11 14 となり，題意を満たします(十分)。 以上(イ)，(ロ)，(ハ)ですべて尽くされています。 答 (1,3) または (2,14) 誤謬，ミスプリなど乞うご容赦。 |
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井の中
11月11日（木） 14:12:05
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