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uchinyan |
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#23851
＞一般解の予想 ＞カードの枚数が n 、ダメな数が n+1 のときの結果 P(n)は、 ＞ n が偶数のときP(n) = (n-0)*(n-2)*(n-4)/48 * (n+1)^3 ＞ n が奇数のときP(n) = (n-1)*(n-2)*(n-3)/48 * (n+1)^3 少なくとも、はなうさん、及び私の解法では、予想ではなくて、 * n が偶数の場合 ある数 k (1<= k <= n)に対して、k とは異なる(n+1-k)が存在するので、和が(n+1)となるような(k,n+1-k)の組が常に存在し、 #23861のロジックが使えて、1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 だから、 P(n) = n(n+1)/2 * {n(n+1)/2 - (n+1)} * {n(n+1)/2 - 2(n+1)} / 3! = n(n+1)/2 * (n-2)(n+1)/2 * (n-4)(n+1)/2 * 1/6 = 1/48 * n(n-2)(n-4)(n+1)^3 * n が奇数の場合 ある数 k、ただし、1<= k < (n+1)/2, (n+1)/2 < k <= n)に対しては、k とは異なる(n+1-k)が存在するので、 この場合には、和が(n+1)となるような(k,n+1-k)の組が常に存在する。 したがって、(n+1)/2 を含まない場合 P1(n) には、#23861のロジックが使える。 ただし、(n+1)/2 を含まないので、(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) に対応する総和は、n(n+1)/2 - (n+1)/2 = (n-1)(n+1)/2 になる。 P1(n) = (n-1)(n+1)/2 * {(n-1)(n+1)/2 - (n+1)} * {(n-1)(n+1)/2 - 2(n+1)} /3! = (n-1)(n+1)/2 * (n-3)(n+1)/2 * (n-5)(n+1)/2 * 1/6 = 1/48 * (n-1)(n-3)(n-5)(n+1)^3 一方、(n+1)/2 を含む場合 P2(n) は、(n+1)/2と足して(n+1)になる数は自分自身以外にはないので、何枚目でも出現可能で、この3通りを考慮すると P2(n) = (n+1)/2 * (n-1)(n+1)/2 * {(n-1)(n+1)/2 - (n+1)} / 2! = (n+1)/2 * (n-1)(n+1)/2 * (n-3)(n+1)/2 * 1/2 = 1/16 * (n-1)(n-3)(n+1)^3 合計して P(n) = P1(n) + P2(n) = 1/48 * (n-1)(n-3)(n-5)(n+1)^3 + 1/16 * (n-1)(n-3)(n+1)^3 = 1/48 * (n-1)(n-2)(n-3)(n+1)^3 と、一応、証明はできるように思いますが。違うのかな？ |
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ネコの住む家
10月14日（木） 15:38:45
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