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uchinyan |
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(8/9:最初の投稿 8/10:若干修正)
今週は、私の働いている会社が夏休みなので、改めて、マサルさんの図、なかさんの図を眺めていて、ふと、次のようなグラフを考えると、 問題が簡単化されるかな、と思い付きました。 ご参考までに、紹介しておきます。 以下では、#23461で示したとおり、ひし形の個数を最小にするにはひし形の辺の長さを正16角形の辺の長さにすればいいことが分かるので、 その場合だけを考察します。 例によって、少し長くなります。悪い癖．．．:-( 正16角形がひし形で分割されている場合、それぞれのひし形の中心に点をとり、その点から各辺に交差する4本の線を引きます。 すべてのひし形に対してこれを行い、得られるグラフを考察します。(グラフ理論のことはよく知りませんが、双対グラフというのかな？) 明らかに、正16角形の各辺に対してそれと交差する1本の線が外側に出ています。その線の正16角形の外側の適当な箇所に点をうっておきます。 また、各ひし形の向かい合う辺に対応して1本の線が点に入り出て行きます。向かい合う辺は平行ですから、この入って出て行く線は、 辺の平行な関係を表しています。より正確には、入ってくる(又は出て行く)線に対して、その隣の隣の線が平行関係を示します。 隣り合うひし形は辺を共有し、その辺を通じて平行な辺の連鎖を生じますが、これは、グラフでは上記の関係をもつ線のつながりを意味します。 この際、平行を表す線のつながりは、一般には、点で折れ曲がった折れ線になります。 しかし、このグラフにおいて重要なのは、点と線とのつながりの関係だけであって、線の長さとか角度とかは意味がありません。 そこで、点の相互の位置関係や点と線とのつながりを変えずに点の位置をずらし、線のつながりを直線として表現してもOKです。 以下では、簡単のために、このようにして直線化した場合をイメージしています。 なお、お気付きのように、この線のつながりは、なかさんの帯に対応しています。 そして、ひし形で分割するということは、今説明したようなグラフを作成することに対応します。 さて、分割する前の段階では、正16角形の辺に対応する16個の点だけが円、もしくは楕円、を描くように存在しています。 正16角形はその対辺が平行なので、16個の各点とそれの向かい側の点との間に、平行関係を示す線を8本を引くことができます。 すると、一般に、8C2 = 28 個の交点ができます。 このとき注意しなければなりませんが、各交点は一つのひし形を表し、4本の線、平行関係にある2組の線、を持っていなければならないので、 たとえ、グラフ上の点が重なって見えても、2組の線ごとに一つの点、と考える必要があります。 例えば、平行関係の線8本が一点で交わったグラフを書いてしまったら、それは書き方が悪いのであって、8本のうちの2本、平行関係の2組、 ごとに点が一つあると考えなければなりません。要は、どの三つの線も1点では交わらないようにグラフを書く、ということです。 したがって、常に、8C2 = 28 個の交点があることになります。 交点ごとに1個のひし形が対応するので、28 個のひし形が存在します。 結局、なかさんのアイディアと同じなのですが、グラフの条件を明確にしてしまえば、特に頭を使わずとも、単に、 平行関係にある正16角形の対辺に対応する点を結ぶだけで、ひし形の個数が求まる点が、ちょっと面白いと思います。 このグラフを見ていると、もう少し情報が得られます。 今、平行関係にある正16角形の対辺に対応する点(の組み)を、順番に、反時計回りに、1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 と番号をつけます。 線1は、線2から線8と交差しているので、7個のひし形が存在します。これを、(1,2), (1,3), ..., (1,8) と書きます。 すると、各ひし形について、辺の関係を調べると、常に、次の関係が言えることが分かります。 (1,2) (1,8) : 角度が、157.5度及び22.5度のひし形 : A 型とします。 (1,3) (1,7) : 角度が、135 度及び45 度のひし形 : B 型とします。 (1,4) (1,6) : 角度が、112.5度及び67.5度のひし形 : C 型とします。 (1,5) : 角度が、 90 度及び90 度のひし形 = 正方形 : D 型とします。 同様なことは、線2などに対してもいえて、一般に、m < n として、(明らかに、(m,n) = (n,m) で、m と n とは等しくありません。) (m,n) : n = m + 1 or m + 7 => A 型 n = m + 2 or m + 6 => B 型 n = m + 3 or m + 5 => C 型 n = m + 4 => D 型 線は、なかさんの帯に、交点(m,n)は、帯の交差するひし形に、それぞれ対応するので、グラフ上の交点の出現する順番に、 帯上に上記の角度のひし形が出現することになります。 例えばなかさんの#23458の図では、Aを1、gを3として、ひし形は、 (1,7) (1,2) (1,3) (1,8) (1,4) (1,6) (1,5) => B, A, B, A, C, C, D : 黄色の帯 (2,7) (2,1) (2,8) (2,3) (2,4) (2,6) (2,5) => C, A, B, A, B, D, C (3,7) (3,1) (3,8) (3,2) (3,4) (3,6) (3,5) => D, B, C, A, A, C, B : 桃色の帯 (4,7) (4,8) (4,1) (4,2) (4,3) (4,6) (4,5) => C, D, C, B, A, B, A (5,6) (5,7) (5,8) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) => A, B, C, D, C, B, A (6,5) (6,7) (6,8) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) => A, A, B, C, D, C, B (7,5) (7,6) (7,4) (7,3) (7,2) (7,1) (7,8) => B, A, C, D, C, B, A (8,5) (8,6) (8,4) (8,1) (8,3) (8,2) (8,7) => C, B, D, A, C, B, A となっています。 つまり、一般に、線の交点からひし形分割の形状が予測できるというわけです。 交点は、ナイーブには、線の両端が、1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 の順番に円周上、又はこれと同相な図形、 楕円など、に並んでいる場合に限定されそうですが、線1の両端を無限遠点に引っ張って、残りの線の両端が線1の両側にある 線1に平行な線上に順番に並んでいてもよさそうです。これらがどの程度の制限になるのかは、把握できていません。 また、番号の振り方には余分な自由度があるので、実際のひし形分割では等価なものが含まれてしまいます。 ひし形分割自体も、正多角形の対称性の分だけ等価なものが存在し得ます。 ちゃんと考えるには、ここらをどうするか整理する必要があります。 さらに、必要条件であっても十分条件かどうか、つまり、すべての場合に本当に実現可能かどうかまでは、調べていません :-) 大丈夫そうな気はするのですが．．． |
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ネコの住む家
8月10日（火） 11:23:19
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