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uchinyan |
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(かなりミスがあったので修正しました。)
(更に修正...8/7) ふと思ったのですが、帯を持ち出さなくてもいいですね。 まぁ、同じことですが．．． 皆さんのアイディアをまとめるとこんな感じかな。 分割された状態でひし形を一つ取ります。それは、二組の同じ長さの平行な辺で構成されています。 このひし形の辺が正2n角形の辺の長さより大きいときには、分割してもしなくても、なかさんの#23456と同様のロジックで、 ひし形をつなげていき正2n角形の辺に到達したときに、正2n角形の辺の長さより長さの総和が大きな平行な線分の集まりが残ってしまい、 題意に矛盾します。 ひし形の辺が正2n角形の辺の長さ以下のときには一般には題意に矛盾しませんが、個数を最小にする条件からひし形の辺は可能な限り大きく、 それぞれのひし形で分割されずに共有されていることが望ましいことになります。 この場合、正2n角形の辺の長さになることが望ましいわけですが、算太郎さんの#23455のロジックから、次のとおり可能であることが分かります。 ひし形の辺は分割されずに隣のひし形と共有されるので、その隣のひし形も同じ長さの二組の平行な辺を持つことになります。 元のひし形の一組の平行な辺と平行な辺を持つひし形をたどりながら外側に向けて続けていけば、いつかは必ず正2n角形の辺に到達します。 この末端のひし形は、正2n角形の辺を辺として共有しているので、その辺の長さは、正2n角形の辺の長さと同じでなければなりません。 したがって、この末端のひし形に到達するまでの辺を共有しているすべてのひし形の辺も、正2n角形の辺と同じ長さになります。 どのひし形でも同じロジックがいえて、すべてのひし形の辺の長さは、正2n角形の辺の長さに一致します。 次に、ひし形の個数を考えます。これは、なかさんの#23458のロジックです。 先ほどの操作によって得られた、正2n角形の辺と辺を共有する末端のひし形の辺は、最初のひし形の辺と平行なので、 結局、それらの平行な(一組の)辺は、正2n角形の平行な辺、つまり対辺と平行になります。 逆に、正2n角形の平行な一組の対辺を与えれば、逆の方向にひし形をたどることで最初のひし形の一組の平行な辺を与えることができ、 正2n角形の平行な二組の対辺を与えれば、ひし形を一つ決定できます。 したがって、ひし形の個数は、正2n角形の平行な二組の対辺を与えることに対応し、対辺はn組あり、それから2組を選べばいいので、 (n)C(2) = n(n-1)/2 個 正16角形の場合は、2n = 16, n = 8 で、28個。 これが実際に可能なことは、例えば、マサルさんの作成法#23429や、なかさんの作成法#23446から保証されます。 最後の部分は、BossFさんの#23463のご指摘です。BossFさん、ありがとうございます。 もっとも、帯を導入した方が分かりやすいですね。 |
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ネコの住む家
8月7日（土） 22:54:37
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