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ふじさきたつみ |
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＃１８１３０の問題 解けたんでしょうか？
＜補題＞ 四角形ＡＢＣＤの対辺ＡＢ，ＣＤと等角をなす直線を、円の中心Ｏを 通ってひき、ＡＢ，ＣＤと交わる点をＥ、Ｆとすれば、 ＡＥ・ＦＤ＝ＢＥ・ＣＦ＝ＯＥ・ＯＦ ＜証明＞ 等角の大きさを ｘとおけば、 ∠ＡＥＯ＝∠ＯＦＤ＝ｘ ＯをＡ，Ｄと結べば、 ∠ＥＡＯ＝∠ＯＡＤ（＝ｙとおく） ∠ＯＤＡ＝∠ＦＤＯ（＝ｚとおく） 四角形ＡＥＦＤにおいて、内角の和をとると、 ２ｘ＋２ｙ＋２ｚ＝３６０度 ∴ ｘ＋ｙ＋ｚ＝１８０度 ・・・・・�� △ＡＥＯの２つの内角が、ｘ、ｙであるから、�，砲茲辰� ∠ＡＯＥ＝ｚ 同様にして、 ∠ＡＯＤ＝ｘ、∠ＤＯＦ＝ｙ よって、 △ＡＥＯ∽△ＡＯＤ∽△ＯＦＤ ∴ ＡＥ：ＥＯ＝ＡＯ：ＯＤ＝ＯＦ：ＦＤ ∴ ＡＥ・ＦＤ＝ＯＥ・ＯＦ ・・・・・�� 四角形ＥＢＣＦで同様にして、 ＥＢ・ＣＦ＝ＯＥ・ＯＦ ・・・・・�� �◆↓�により 証明された。 次に Ｏから、ＡＢ，ＣＤに垂線を引いて、交点をＧ，Ｈとして、 ＧＥ＝ＨＦ＝ｋとすると 補題より ＡＥ・ＦＤ＝ＢＥ・ＣＦ＝ＯＥ・ＯＦ よって、これに問題の数値を代入すると、 （２＋ｋ）（１＋ｋ）＝（３−ｋ）（４−ｋ）＝ＯＥ・ＯＦ これより、ｋ＝１、 になり、 ＯＥ・ＯＦ＝３×２＝６ ∴ ＯＥ＝ＯＦ＝√６ また、△ＯＧＥは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より ＯＧ＝√５ よって、求める内接円の半径は、√５ ＃１８１３１ 算数では解けないそうですので、√５はいいせん？ |
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2月20日（木） 23:06:07
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