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堅苦し〜い解法ですいません。(._.)
下記の証明の流れに乗って答えを見つけました。 定理 次の２つの条件（１）,（２）を満たすｎ桁の整数はただ１つ存在する。 ただしｎ≧１。 条件 （１）各桁の数は１または２である。 （２）２＾ｎで割りきれる。 証明 帰納法で示す。 条件を満たすｎ桁の整数をZ(n)とする。 �。遏瓧韻里箸�, 明らかに,Z(1)=2ただ１つ。 よって命題は成立。 �■遏瓧襪里箸�, Z(k)がただ１つ存在すると仮定する。 ��ｋ＋1のとき, まず,下ｋ桁がZ(k)で,(k+1)桁が１または２である(k+1)桁の数で, 条件を満たす数がただ１つ存在することを示す。 Z(k)を２＾ｋで割ったときの商をｑとすると Z(k)＝２＾ｋ×ｑ. ここでｑの偶,奇で場合分けをする。 ｍ≧1とする。 ｑ＝偶数＝２ｍのとき, １０＾ｋ＝２＾ｋ×５＾ｋ, ２×１０＾ｋ＝２＾ｋ×（２×５＾ｋ）, ∴ １０＾k+Z(k)＝２＾ｋ×（５＾ｋ＋２ｍ）, ∴ ２×１０＾ｋ＋Z(k)＝２＾(ｋ+1)×（５＾ｋ＋ｍ） （５＾ｋ＋２ｍ）が奇数なので,１０＾k+Z(k)は２＾(k+1)では割りきれ ない。 よって,下ｋ桁がZ(k)で,(k+1)桁が１または２である(k+1)桁の数で, 条件を満たす数は,２×１０＾ｋ＋Z(k)ただ１つである。 ｑ＝奇数＝２ｍー1のとき, １０＾ｋ＋Z(k)＝２＾ｋ×（５＾ｋ−１＋２ｍ）, ２×１０＾ｋ＋Z(k)＝２＾ｋ×（２×５＾ｋ＋２ｍ−１）. ここに（５＾ｋ−１＋２ｍ）は偶数,（２×５＾ｋ＋２ｍ−１）は奇数。 よって,下ｋ桁がZ(k)で,(k+1)桁が１または２である(k+1)桁の数で, 条件を満たす数は１０＾ｋ＋Z(k)ただ１つである。 次に 『(k+1)桁が１または２である(k+1)桁の数で,条件を満たす数の 下ｋ桁はZ(k)である』ことが必要条件であることを示す。 下ｋ桁をW(k)としW(k)≠Z(k)と仮定する。W(k)を２＾ｋで割った ときの商をＱ，余りをＲとする。 W(k)＝２＾ｋ×Ｑ＋Ｒ. 仮定よりＲ≠０. １０＾ｋ＋W(k)＝２＾ｋ×（５＾ｋ＋Ｑ）＋Ｒ, ２×１０＾ｋ＋W(k)＝２＾ｋ×（１０＾ｋ＋Ｑ）＋Ｒ より,下ｋ桁がW(k)で,(k+1)桁が１か２である数は,２＾ｋで割りきれない。 もちろん,２＾(ｋ+1)でも割りきれない。よって,,(k+1)桁が１または２であ る(k+1)桁の数で,条件を満たす数の下ｋ桁はZ(k)であることが必要。 以上より,Z(k+1)はただ１つ存在する。 ��,��,��より定理は示された(と思います）。 証明おわり。 証明の流れに従えば、逐次Z(1),Z(2),Z(3),・・・・・がもとめられます。 Z(1)＝２, Z(2)＝１２, Z(3)＝１１２, Z(4)＝２１１２, Z(5)＝２２１１２, Z(6)＝１２２１１２, Z(7)＝２１２２１１２, Z(8)＝１２１２２１１２, ・・・・・・・・・・・・・・・・ Z(n)の一般式を定めたいのですが・・・。上手く流れません。 別の解法が必要かも・・・。 まだ、よく見直していないので、間違いやミスプリがあるかもしれません。 やっていることは単純なのに「くどくど長〜く」なってしまいました。(._.) タタキ台にして下さい。 適宜、訂正ｏｒ削除させていただきます。 乞御容赦。 |
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10月24日（木） 11:14:12
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