|
M.Hossie |
|
＞マサルさま
「お願いでごんす」メールを頂戴しまして、ぼくもちょっと遅めの晩飯タイムにじっくり考えてみました。 Taylor expansion (Maclaurin expansion) が禁じ手となると、困ったもんですね。 ぼくの解き方ですが、実は小西さんと同じ考えでありまして、やはり二項展開を利用するものであります。っつーか、高校数学の範囲でこれを証明するとなると、e の定義と二項展開に持ち込むしか他に方法ないでしょう。階乗の形だってうまいこと出て来る訳だし。 e の定義から e^x を lim (1 + x/n)^n (n --->無限大) で表現し、その二項展開の係数が 1/n! になることを n 階微分することで示します (e^x は C^n 級函数、何遍でも微分可能で至る処連続)。 んで、問題は x ＝ -1 の時だから、答えは e^-1 となる。 この方法だと、マサルさんが危惧されているような、てーらー展開の「て」の字も出て来ないと思うのですが、どうでしょうか。高校の範囲を逸脱してないと思いますよ。小西さんもそう思いますよね？ 因みに、昔ぼくが理系の高２・３生とかを教えていた時には、近似式のコーナーで Taylor の定理や Taylor 展開の話を、e^x や sin, cos を例に挙げながらやっていました。勿論、厳密な証明は出来ないですけどね。現在の数３Ｃの教科書では近似式は１階までしか扱えないので、２階の近似式の話から導入しないといけないですね。何で係数が 1/2! とか、３階なら 1/3! なんて値になるかなんて話も雑談でやってましたが、もうこの手の話は現行課程のお子さまには出来ないですね。 てな訳で、余りお役に立てなくて申し訳有りません。 |
|
西武拝島線沿線
6月17日（月） 21:13:12
16304 |