|
M.Hossie |
|
ほっしー君の解法
一辺が１の正四面体 ABCD を考える。 B を原点とし、辺 BC が x-axis 上の正の部分、A が z >0 になるように立体を置く。 すると、各点の座標は、 A (1/2, √3/6, √6/3), B (0, 0, 0), C (1, 0, 0), D (1/2, √3/2, 0) また、P (3/8, √3/8, √6/4), Q (1/4, 0, 0), R (7/8, √3/8, 0), S (1/2, 5√3/12, √6/12) です。 なので、底面を △QRS とする三角錐 P-QRS の体積を求めるべく、ベクトル QR = (5/8, √3/8, 0), ベクトル QS = (1/4, 5√3/12, √6/12) を考える。 QR と QS の外積は、QR x QS = (√2/32, -5√6/96, 11√3/48) となり、これが平面 QRS の法線ベクトルだという訳で、平面 QRS の方程式は、 3√2 x - 5√6 y + 22√3 z = 3√2/4 よって、P から平面 QRS に降ろした垂線の長さは、数 IIB の有名公式に代入して、 √10/6 と求まる。 また、△QRS の面積は、QR x QS (外積ベクトル) のノルムの半分なので、せこせこ計算すると、3√5/32 である。 よって、三角錐 P-QRS の体積は、3√5/32 * √10/6 * 1/3 = 5√2/192。 もともとの正四面体の体積は、√2/12 なので、三角錐 P-QRS の体積はもとの正四面体の 5/16 である。 故に、求める答えは、320 * 5/16 = 100 (cm^3) ..... Final Answer。 年末の問題でマサル氏が、「ほっしーさんは座標で解いて来ると見た！」なんて予想されてましたが、その時は何とか算数で解けたものの、今回はマサル氏の予想を裏切らない結果となってしまいました。あー疲れた。 |
|
西武拝島線沿線
2月7日（木） 14:28:10
15369 |