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M.Hossie |
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こんばんにゃ。高校数IIＢの教科書の例題にありがちですね。別に正四面体に限らなくてもいいですね。高校生以上の人ならいきなりベクトルで解いちゃいそうですね。当然ぼくもベクトルです。以下に、ぼくの解法を書きますが、いかにもチャート式にありがちな解法です。
A を始点にして、空間ベクトルを AB, AC, AD (上に矢印つけといて下さい) の３つで表現する。簡単のために、それぞれを b, c, d と書く (b, c, d は、ホントはゴシックで書きたいところ)。 また、CQ : QD = k : 1 - k, PT : TQ = l : 1 - l, ST : TR = m : 1 - m とおきましょう。当然、Q, R, S は内分点なので、k, l, m は 0 より大で 1 より小でなかったらあかん。 AT ベクトルを AR ベクトルと AS ベクトルで表現してみると、 AT = m * AR + (1 - m)*AS = m * d/4 + (1 - m) {b/4 + 3c/4} .....(1) また、AT ベクトルを AQ ベクトルと AP ベクトルで表現してみると、 AT = l * AQ + (1 - l)*AP = l {kd + (1 - k)c} + (1 - l) b/2 .....(2) ここで、b, c, d は線形独立 (linear independent) なので、係数比較してやって、 b について、(1 - l)/2 = (1 - m)/4 c について、l (1 - k) = 3 (1 - m)/4 d について、m/4 = kl この３元連立を頑張って解いて、k = 1/10, l = 5/8, m = 1/4 よって、答えは、CQ : QD = 1 : 9、PT : TQ = 5 : 3、ST : TR = 1 : 3 .....Final Answer。 よく、高校生の答案を見ていると、係数比較する時に、「b, c, d は線形独立」というのを書かないのがいっぱいいます。これ重要なので、書かないと０点になってしまいますので注意しましょう。また、「線形独立」という用語の正確な定義 (大雑把に言えば、０ベクトルでもなく互いに平行でもないという意味ですが) もしっかり覚えておきましょう。 |
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黄色い電車の走る近所
6月21日（木） 10:52:58
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