えっと、まずは生徒の人数を求めるところから始めます。例えば、カードが４枚なら、１〜４のカードがあるわけで、これを２人に２枚ずつ配ったとき、得点の最大は（１、４）（２、３）で３＋１＝４点ですね。最小は（１、２）（３、４）で１＋１＝２点ですね。つまり、外側からとると最大になるんですね。で、そのような取り方をすると、１＋３＋５＋・・・という計算になることになります。（この部分が帰納法とかΣを使うというご意見でしょうか..）
１＋３＋５＋・・・・＝４００ になればよいので、これを計算すると（等差数列の和の公式は中学入試では常識です）差は１から３９まであることになります。差が３９になるときは、（１、４０）のときですよね。つまり、カードは４０枚、人数は２０人と分かります。
ここからは、まず最小の場合を考え、これを少しずつ大きくすることを考えると分かりやすいかと思います。つまり、最小セットのときから２ずつ大きくなっていくことが分かります。（証明はむずかしいみたいですが...）
解答：１９１通り