まずは上の図をご覧ください。この図は、問題の図の左右の辺を延長して、大きな三角形を作ったところを表しています。すると、もとの三角形と同じ形の三角形ができますね。また、辺の比は一番小さい三角形の１０倍です。ということは、この三角形ＰＱＲの面積は、一番小さい三角形の１０×１０＝１００倍、ということになりますね。一番小さい三角形の面積は３cm2ですから、三角形ＰＱＲの面積は３００cm2です。
また、上の図でお分かりの通り、ＰＸ＝ＰＱ×６／１０、ＰＹ＝ＰＲ×９／１０です。というわけで、三角形ＰＸＹの面積は、３００×（６／１０）×（９／１０）＝１６２cm2、さらに四角形ＸＱＲＹの面積は３００−１６２＝１３８cm2です。
ここで、黄色の部分を２つのグループに分けてみます。すなわち、小さい２つの部分と大きい３つの部分です。（分かります....よね？）すると、四角形ＸＱＲＹ−４つの相似な三角形＝「大きい３つの部分−小さい２つの部分」ということになるんです。（実はここを出題するつもりでした...）
というわけで、
大きい３つの部分−小さい２つの部分＝１３８−（４８＋２７＋１２＋３）＝４８cm2
となります。というわけで、後は「小さい２つの部分の面積」を求めることになります。
さて、今度は上の図のようにＱＲ、ＸＹを延長し、その交点をＳとしています。これを利用して小さい三角形の面積を求めます。（ちょっと簡略化して書きます....疲れてきたので（^^;;）
ＲＳ＝？とすると、
？：？＋６＝１：４ ですから、
？＝２
となります。となると、ＲＹ＝２とすると、ＣＥ＝５となり、ＣＡ＝６であることから、ＡＥ＝１であることが分かります。つまり、ＡＥ＝ＡＣ×１／６となります。同様にして、ＡＤ＝ＡＢ×１／９であることが分かります。
すると、三角形ＡＤＥの面積は、三角形ＡＢＣ×（１／９）×（１／６）＝０.５となります。実は２つの小さい三角形は合同で（計算すると分かります...）すから、先ほどの「小さい２つの三角形の和」は０.５×２＝１cm2と分かります。
ということは、「大きい３つの三角形−小さい２つの三角形」が４８cm2でしたから、「大きい３つの三角形＋小さい２つの三角形」は、４８＋１×２＝５０cm2と分かります。ふぅ〜。
解答：５０cm2