この問題、中学入試に出題されるとすれば、かなり難しい虫食い算になると思います。
＃以下、例えばＡＢＣＤと書いたときには４けたの数を、ＡＢと書いたときには２けたの数を表すことにします。
まずＣＤについて考えます。ＡＢＣＤに７０００を加えても、下２けたには関係ありませんね。さらに、これを５倍しても同様です。つまり、ここでは下２けたＣＤに５倍をした結果、また下２けたがＣＤになるような数を考えればよいわけです。
そのような数は、００、２５、５０、７５が考えられます。そこで、それぞれを調べてみると、
- ００の場合
Ｂにどんな数があったとしても、Ｂ００×５の結果が７００になることはありえませんね。
- ２５の場合
これも００の場合と同様で、Ｂにどんな数があっても７２５になることはありえません。
- ５０の場合
これならいくつかの方法が考えられます。１５０×５＝７５０、３５０×５＝１７５０（１繰り上がることになります）、以下５５０、７５０、９５０の５通りが考えられます。
- ７５の場合
これは００や２５と同様、Ｂにどんな数があっても７７５にはなりませんね。
さてこれで、ＣＤ＝５０であることが分かりました。
あとは、（ＡＢ５０＋７０００）×５＝ＡＢ７５０ となるＡＢを求めればよいことになります。手っ取り早いのは方程式で解いてしまう方法ですね。この程度の方程式なら、小学生も「マルイチ算」というのを知っていますので解くことができます。
（ＡＢ×１００＋５０＋７０００）×５＝ＡＢ×１０００＋７５０
ＡＢ×５００＋２５０＋３５０００ ＝ＡＢ×１０００＋７５０
ＡＢ×５００＝３４５００
ＡＢ＝６９
というわけで、ＡＢ＝６９と分かりました。（実際には、小学生が解く場合は少し表記法とかが違います。）
（注）・・・上記の方法で、ＡＢ＝６９を求める部分を、あくまでも方程式を使わずにとくのであれば、やはりある程度当てはめて検証することが必要になります。まあ、それほど大変でもないですけど....。
答え：６９５０
以下に、今回の参加者のお一人、須崎琢也さんの解答を紹介させていただきます。小学生に説明するには、なかなか良い方法だなと感じました。なお、掲載にあたってはご本人の承諾をいただいています。
まず，“×5”は“×10÷2”と考えられますから“(Ａ+7)ＢＣＤ０”が“ＡＢ７ＣＤ”の2倍であるとしても問題と同意になります。また，“2倍”というのは“同じものを加えたもの”でもありますから，結局
ＡＢ７ＣＤ
＋）ＡＢ７ＣＤ
――――――
(Ａ+7)ＢＣＤ０
の虫食い算を解けば，問題を解いたこととなります。
さて，Ｄについて考えると，同じものを加えたときに下一桁が０になる（０から９までの）整数は ０又は５ となります。
-
1)Ｄ＝０のとき
Ｄと同様に考えてＣも ０又は５ となるがＣ＝０は百の位の条件を考えると，Ｃは ４又は５ となるため，Ｃ＝５だけが解である可能性がある。次に千の位でＢの条件を考えると“同じものを加えたときに下一桁が自分自身より１小さい”ことになりますから，Ｂ＝９です。続いて万の位でＡの条件を考えると“同じものを加えたときに下一桁が自分自身より６大きい”ことになりますから，Ａ＝６です。
-
2)Ｄ＝５のとき
十の位でＣの条件を考えると“同じものを加えたときに下一桁が４”ことになりますからＣは ２又は７ です。しかし，２又は７のどちらのときにも百の位におけるＣの条件を満たさないため，Ｄ＝０は解としては不適であると判ります。
したがって，求める答えは，Ａ＝６，Ｂ＝９，Ｃ＝５，Ｄ＝０であって，４桁の整数“6950”となります。また，(6950＋7000)＝69750 であり，確かに問題の条件を満たします。
答え：６９５０
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