まず、１０個のボールを並べてみます。
ここで、ボールとボールの間に仕切りを入れることを考えます。例えば、２番目と３番目の間、７番目と８番目の間に仕切りを入れると、
となり、これは
２＋５＋３＝１０
を表していると考えることができますね。
もうお分かりかと思いますが、この問題ではこの仕切りの入れ方が何通りあるかを考えればよいわけです。
すると、仕切りを入れることの出来る「間」は９箇所ありますね。この９箇所それぞれに仕切りを「入れる」場合と「入れない」場合がありますから、仕切りの入れ方は全部で、
２×２×２×２×２×２×２×２×２＝５１２（通り）
あることになります。しかしこれだと全く仕切りを入れない場合（つまり１０＝１０の場合）が含まれているので、その分だけ引きます。
５１２−１＝５１１（通り）
これが正解ですね。
答え：５１１通り