茖永��

スモークマン

ユークリッドの互除法で...
(5a+b,a+7b)
(5a+b,5a+35b)
(5a+b,34b)
(170a+34b,34b)
(170a,34b)
so...170,34の最大公約数=34

前回...
1,1,1 と残り9を2以上で３分割
111522・・・6!/(3!2!)=60
111432・・・6!/3!=120
111333・・・6!/(3!3!)=20

合計=200
と考えましたが入れず...^^;;

Why ?

　　 1月16日（木） 0:21:52　　　　53776

鯨鯢(Keigei)

gcd(7a+b,a+5b)＝gcd(7a+b,a+5b-5(7a+b))＝gcd(7a+b,-34a)
gcd(7a+b,a+5b)＝gcd(7a+b-7(a+5b),a+5b)＝gcd(-34b,a+5b)
よって、gcd(7a+b,a+5b)は 34a,34b の公約数で、34の約数、
実際、a=1,b=27 のとき、gcd(7a+b,a+5b)=gcd(34,136)=34 です。

　　 1月16日（木） 0:23:19　　　　53777

Jママ

#53776
スモークマンさん
もっとよいアドバイスがあるとは思いますが…

Aという正十二角形の頂点がいつも六角形の頂点に選ばれるわけではないので、
起点が12通りあるとして考えればよいのではないでしょうか。
(111225)　12×5!/(3!2!)=120
(111234)　12×5!/3!=240
(111333)　12×5!/(3!3!)=40

120+240+40=400通り

今週の問題は、棒線図からあるX,Yについて(仮にX>Y)
X+Y=n(X-Y)
となるときが最大で最大公約数(X-Y)なのでこれに代入すると
8ア+6イ=n(6ア-4イ)
整理すると
(2n+3)イ=(3n-4)ア
アとイは互いに素なので
ア=2n+3
イ=3n-4
X-Y=12n+18-12n+16=34
実際にn=3のとき
ア=9,イ=5でX=68,Y=34となる

運好く答えが出ました
詰めが甘いかもしれません(^_^;)

　　 1月16日（木） 0:53:11　　　　53778

Jママ

「あるX,Yについて」は間違いで、条件を満たすX,Yのときに最大公約数がX-Yで最大となる。
でしょうか？(^o^;)

　　 1月16日（木） 0:57:23　　　　53779

Jママ

度々すみません
アとイは互いに素なので
ア=2n+3
イ=3n-4

とするのも誤りで、比がわかるだけですね。申し訳ないです。

　　 1月16日（木） 1:04:50　　　　53780

Jママ

解を書き直しましたm(_ _)m

今週の問題は、棒線図を書けば分かるのですが、(仮にX>Y)

X+Y=n(X-Y)
を満たすX,Yがある時に最大公約数が最大となりその値は(X-Y)なのでこれに代入すると
8ア+6イ=n(6ア-4イ)
整理すると
(2n+3)イ=(3n-4)ア
より自然数kとして
ア=(2n+3)/k
イ=(3n-4)/k
と表せる。最大公約数は
X-Y=(12n+18-12n+16)/k=34/k
実際にn=3,k=1のとき
ア=9,イ=5でX=68,Y=34となる
よって答えは34

運好く答えが出ました
詰めが甘いかもしれません(^_^;)

　　 1月16日（木） 1:21:50　　　　53781

Jママ

※追記です
同様にX<YでもY-X=34/kが最大
X=Yのとき、ア=2,イ=3,X=Y=17で最大公約数17なので34より小さい。

ここまでやらないとダメでしょうか…。
連投失礼しました。

　　 1月16日（木） 1:34:17　　　　53782

「数学」小旅行

5X-Yの約数で考えました

　　 1月16日（木） 1:48:27　　　　53783

今年から高齢者

x,yの公約数をmとすれば
x2=5x-yも、y2=7y-xも
（x2,y2が0で無ければ、）mを因数として含む
x2=34a、y2=34bであり、a,bは互いに素なので、m=34

　　 1月16日（木） 10:35:42　　　　53784

スモークマン

#53778
Jママ様
そっか！！
1を決めて、残り5個の並びで考えて、12倍
たしかにそうでしたわ ^^;☆
解説いただきありがとうございました。スッキリ♪

　　 1月16日（木） 12:58:24　　　　53785

手描き図面職人

パイソンプログラムで解いて見ました。プログラムは、catGPTに作成して貰いました。プログラムは、
from math import gcd
def max_gcd_x_y():
　　max_gcd=0
　　for a in range(1,100):
　　　　for b in range(1,100):
　　　　　　if gcd(a,b)==1:
　　　　　　　　x=7*a+b
　　　　　　　　y=a+5*b
　　　　　　　　current_gcd=gcd(x,y)
　　　　　　　　max_gcd=max(max_gcd,current_gcd)
　return max_gcd
result=max_gcd_x_y()
print("The maximum GCD of X and Y is:",result)

　　 1月16日（木） 13:30:32　　　　53786

KawadaT

今年から高齢者さん　を参考にしました。

都合で、アをa, イをbと記載します。
X=7a+b .........甲
Y=a+5b ……….乙
乙の両辺を7倍してから、甲乙の左辺右辺をそれぞれ引くと、
X-7Y=-34bなので、
7Y-X=34b ……….丙

甲の両辺を5倍してから、①②の左辺右辺をそれぞれ引くと、
5X-Y=34a ……….丁

XとYの公約数をmとしますと、
丙は、mP=34b
丁は、mQ=34a となります。
aとbは互いに素なので、mが最大公約数となるのは、PとQが互いに素の時で、 34です。

　　 1月18日（土） 4:13:09　　　　53787

みかん

今年も灘の問題（１日目＝１８日実施）を解いてみました。２４年の感想は（#53070）をどうぞ。

［１］計算問題
普通に計算するだけのウォーミングアップ問題。

［２］濃度
容器Ａ由来と容器Ｂ由来の食塩水を、混合せずに分離したまま考える。まあ、よくあるような
問題だろう。

［３］文章題
見た目は売買算だけど、仕入れ値＋経費＋利益＝定価　の式が３つできるので、消去算
（３元１次の連立方程式）で解けると気づけるか。面倒かと思ったけれど、意外と簡単。

［４］場合の数
２５の倍数→末尾が２５・５０・７５・００、９の倍数→各位の数の和も９の倍数、という
おなじみ知識の組み合わせ。

［５］公倍数・公約数と集合
３方向の電車の発車間隔を求めて、ダブりの間隔も求める。具体的に「○分毎」と出さないが、
公倍数を利用する問題ではおなじみの形式。

［６］場合の数
長方形部分の数の和＝（連続する整数の和）×（連続する整数の和）　として表せることに
注目。ちょっと難しいかもしれないが今年ならば、九九表の８１マスの答えの合計＝
（１＋２＋…＋９）×（１＋２＋…＋９）　として求めるというのは触れているはず。
数え落としもしそうだし、子どもにはやや難かも。
問題文中の「九九表のマスで長方形（正方形を含む）は２０２５個」っていうのもおなじみ
問題なので、求め方を確認しておくべき。

［７］試行錯誤を伴うパズル
ＤとＥあたりから絞り込んでいけばよさそうだが、ハマるのが怖い。去年と同様、手を
付けると負けという問題。時間制限を考えなければ楽しいけれどね。

［８］平面図形
計算がちょっと面倒なだけで基本的な問題。

［９］平面図形
辺の長さの比が求められそうにないので、「頂角３６度の二等辺三角形○個分になるだろう」
と予測すれば解けるはず。きれいに等積変形できるが、勘で当てた者もけっこういるのでは？

［１０］平面図形―回転移動
作図しづらい問題ではないし、「半径の長さは分からないが半径の２乗ならわかる円の面積」を
求める問題もおなじみ。

［１１］立体図形
元の５角柱の垂直の辺がそれぞれ何ｃｍか（高さ何ｃｍで切断されているか）を求めて、
四角柱の半分＋断頭三角柱　で左右に分割して計算。断頭三角柱の体積＝底面積×高さの平均、
ってもはや当たり前の知識なのか。左右に分割というのは分かりやすいし、おなじみ問題の
延長として解けそう。

［１２］立体図形
お題の立体が正四角錐の何個分か？なので、正八面体がカギだろうと勘を働かせれば解ける。
去年よりは難しいが、ありがちな設定なので解けるはず。正方形や正三角形の板を磁石で
くっつけて立体を作るおもちゃで馴染んでいると有利だろう。

＜まとめ＞
難しいって感じの問題はないので、去年より高得点が狙えそう。［７］のパズルは深入りせずに
捨てることにして、１０問正解が最低ライン？　場合の数・図形問題は塾の対策が功を奏しそう。
設問が多いので、速さがテーマの問題があってもいいとは思う。

　　 1月19日（日） 23:46:37　　　　53788