ゴンとも
十進Basic で

FOR a=1 TO 9
FOR b=0 TO 9
FOR c=0 TO 9
IF MOD(10^5*a+10^4*b+10^3*c+10^2*c+10*b+a,85)=0 THEN PRINT 10^5*a+10^4*b+10^3*c+10^2*c+10*b+a
NEXT c
NEXT b
NEXT a
END

f9押して　

507705
513315
548845
554455
560065
589985
595595
豊川市　　 5月30日（木） 0:11:22　　 　　53380
今年から高齢者
訂正に気づかず、最大桁は制約がないということで求めていて、何が違うだろうかと悩んでいました。
　　 5月30日（木） 0:20:51　　 　　53381
しぷろみ
５桁の時の解答　
アが5であることから、50005+1010イ＋１００ウ≡０　(mod85)
25-10イ＋１００ウ≡０　(mod85)
25+10(10-イ）＋１００ウ≡０　(mod85)
ここで１０進法表示を考えれば、10(10-イ）＋１００ウは１０以上1000以下の１０の倍数を
すべて１回ずつ取る事がわかる。
よって35以上1025以下の10で割って５余る８５の倍数の数
＝-50以上940以下の170の倍数の数
5個
　　 5月30日（木） 0:24:30　　 　　53382
ベルク・カッツェ
６桁になったので解きなおし。
といってもいいやり方は見つかりませんでした。
６桁の数なのでアは5で確定。
500005以上で最小の85の倍数は500055、
イウウイに注目して、
17で割ると5余る0ウウ0は0770、これに170を足していって0ウウ0になるものはなし。
1ウウ1も同様に探して1331
以下4884、5445、6006、8998、9559が該当したので7個になりました。
　　 5月30日（木） 0:29:21　　 　　53383
もの
abccbaが85で割れる　かつ　6ケタ
⇒a=5　5bccb5が17で割れる
⇒(50+b)×2^2−(10c+c)×2^1＋(10b+5)×2^0が17の倍数
　（17の倍数判定。2ケタずつ区切ってそれぞれに2の冪を掛け、その交代和が17で割れれば元の数も17で割れる）
⇒205+14b-22c|17となる(b,c)（0≦b,c≦9）を探す
⇒少し簡単にし3b+5c-1|17
⇒(b,c)=(0,7),(1,3),(4,8),(5,4),(6,0),(8,9),(9,5)の7通り
　　 5月30日（木） 0:35:15　　 HomePage:https://twitter.com/monoxxxx　　53384
紫の薔薇の人
ア*100001+イ*10010+ウ*1100が85の倍数
⇔ア*100001+イ*10010+ウ*1100が5の倍数
かつア*100001+イ*10010+ウ*1100が17の倍数

ア*100001+イ*10010+ウ*1100が5の倍数
⇔アが5の倍数
ア＝5

ア*100001+イ*10010+ウ*1100が17の倍数
⇔
1+イ*14+ウ*12が17の倍数

イ、ウ＝(0,7),(1,3),(4,8),(5,4),(6,0),(8,9),(9,0)

7通り
//
　　 5月30日（木） 0:37:49　　 　　53385
しぷろみ
５桁の時は１０進法を用いて綺麗に解けるので５桁の方がいい問題？
６桁の時には綺麗に解く方法はないのでしょうか？
　　 5月30日（木） 0:38:28　　 　　53386
しぷろみ
ごめんなさい、５桁の時は6個でした。
　　 5月30日（木） 0:40:01　　 　　53387
紫の薔薇の人

ア*100001+イ*10010+ウ*1100が85の倍数
⇔ア*100001+イ*10010+ウ*1100が5の倍数
かつア*100001+イ*10010+ウ*1100が17の倍数

ア*100001+イ*10010+ウ*1100が5の倍数
⇔アが5の倍数
ア＝5

ア*100001+イ*10010+ウ*1100が17の倍数
⇔
1+イ*14+ウ*12が17の倍数

イ、ウ＝(0,7),(1,3),(4,8),(5,4),(6,0),(8,9),(9,5)

7通り
//
　　 5月30日（木） 0:40:36　　 　　53388
今年から高齢者
6桁の数abccba
a=5は必須
500005＋10010b＋1100cが85の倍数
余りから
35＋65b＋80cが85の倍数
7＋13b＋16c＝7＋17(b+c)−4b−cが17の倍数
4b＋c−7が17の倍数
4b−7＝-7、-3、1、5、9、13、17、21、25、29
このうち、＋c（0〜9）で17の倍数にできないのは、1、5、21
よって7個
　　 5月30日（木） 0:59:41　　 　　53389
ベルク・カッツェ
1001を17で割った余りは15、110を17で割った余りは8。
15が0〜9、8が0〜9で17で割って5になるものを探すと
15　　0、1、4、5、6、8、9
8　　7、3、8、4、0、9、5
以上5通り。
　　 5月30日（木） 1:00:40　　 　　53390
ベルク・カッツェ
間違えました、7通り。
　　 5月30日（木） 1:01:03　　 　　53391
紫の薔薇の人

ア*100001+イ*10010+ウ*1100が85の倍数
⇔ア*100001+イ*10010+ウ*1100が5の倍数
かつア*100001+イ*10010+ウ*1100が17の倍数

ア*100001+イ*10010+ウ*1100が5の倍数
⇔アが5の倍数
ア＝5

ア*100001+イ*10010+ウ*1100が17の倍数
⇔
1+イ*14+ウ*12が17の倍数

イ、ウ＝(0,7),(1,3),(4,8),(5,4),(6,0),(8,9),(9,5)

7通り
//
　　 5月30日（木） 1:02:33　　 　　53392
ベルク・カッツェ
15が0〜9小のときの15で割った余りと8が0〜9のときの15で割った余りを並べて探すとやりやすそうです。
　　 5月30日（木） 1:12:58　　 　　53393
ベルク・カッツェ
0、15、13、11、9、7、5、3、1、16
0、8、16、7、15、6、14、5、13、4
合計5または22になる組み合わせは0+5、15+7、7+15、5+0、1+4、16+6の7通り。
　　 5月30日（木） 1:36:01　　 　　53394
スモークマン
みなさんと同じでしたが面倒...^^;

余りで
500005≡35
10010≡65
1100≡80

65a+80b=50+85m
13a+16b=10+17m...m=2〜14
で探しました...
(a,b)=(1,3),(6,0),(0,7),(5,4),(4,8),(9.5),(8,9)
の7個

これを...
(17-4)a+(17-1)b=17-7+17m
4a+b-7=17k
a=4k+1+(k-b+3)/4
b=0〜9
b=0...a=6
b=1...a=10..x
b=2...a=13...x
b=3...a=1
b=4...a=5
b=5...a=9
b=6...a=13...x
b=7...a=0
b=8...a=4
b=9...a=8
とやってもあまり変わらないか...^^;

想定解はどんな感じなんでしょうかしらん？...
　　 5月30日（木） 1:49:47　　 　　53395
手描き図面職人
パイソンプログラムで解いて見ました。プログラムは、
added=[]
for a in range(1,10):
　　for b in range(10):
　　　　for c in range(10):
　　　　　　num=a+b*10+c*100+c*1000+b*10000+a*100000
　　　　　　if num%85==0:
　　　　　　　　added.append(num)
print(added)
print(len(added))
今回は、自分で作成しました。
　　 5月30日（木） 5:40:52　　 　　53396
「数学」小旅行
17の剰余で数えようとしましたが、しんどくなって、プログラムに助けてもらいました。
　　 5月30日（木） 7:55:20　　 　　53397
手描き図面職人
ChatGPT-4oにプログラムを作成して貰いました。プログラムは、
def count_divisible_numbers():
　　count=0
　　for a in range(1,10):
　　　　for i in range(10):
　　　　　　for u in range(10):
　　　　　　　　num=101001*a+10010*i+1100*u
　　　　　　　　if num%85==0:
　　　　　　　　　　count+=1
　　return count
result=count_divisible_numbers()
print(result)
生成AIは、関数を良く使いますね。
　　 5月30日（木） 10:05:02　　 　　53398
「数学」小旅行
考えかけていたことを完成させてみました。
85=5*17 で、アは０ではないので５に決まる。
アイウウイアのア００００アは５００００５≡１(mod17)
イ００イ０≡イ＊１００１０≡イ＊１４(mod17)
ウウ００≡ウ＊１１００≡ウ＊１２(mod17)
よって、１＋１４イ＋１２ウ≡０(mod17)となるような０から９の自然数イ、ウの組が何組あるかということ。
１＋（１７−３）イ＋（１７−５）ウ≡１−３イ−５ウ(mod17)だから
３イ＋５ウ≡１(mod17)となるものを数えるとよい。
で、最高でも3*9+5*9=72なので、18,35,52,69のいずれかになることから数え上げることにしました。
　　 5月30日（木） 10:59:47　　 　　53399
みかん
６桁の数が５の倍数なので、ア＝５。

５００００５÷１７の余り＝Ｘ　
イ００イ０÷１７の余り＝Ｙ
ウウ００÷１７の余り＝Ｚ
とすると、Ｘ＋Ｙ＋Ｚが１７で割り切れる。Ｘ＝１なので、Ｙ＋Ｚ＝１６。
（ＹもＺも１６が最大なので、Ｘ＋Ｙ＋Ｚが３４以上にはならない）

イが０〜９のとき、Ｙは０，１４，１１，８，５，２，１６，１３，１０，７
ウが０〜９のとき、Ｚは０，１２，７，２，１４，９，４，１６，１１，６

Ｙ＋Ｚ＝１６の組み合わせを探すと、
（０，１６）（１４，２）（５，１１）（２，１４）（１６，０）（１０，６）（７，９）
の７組ができる。

----------
６桁の数＝ア×１０万＋イ×１万＋ウ×１０００＋ウ×１００＋イ×１０＋ア×１
と置いて考えるのは数学だと定番ですね。

こういう問題って中学入試までだと、覆面算として試行錯誤すれば解ける程度なので、
今回のような解法は子どもにはなじみのない解き方ですね。
　　 5月30日（木） 11:35:39　　 　　53400
ハラギャーテイ
octaveによるプログラムです
　　 6月1日（土） 10:59:46　　 MAIL:tfuruya@aria.ocn.ne.jp 　　53401
まるケン
p (500..999).map{|x|(x.to_s+x.to_s.reverse).to_i%85}.count(0)
算数解法にはたどり着けず、、、
おうち　　 6月2日（日） 13:01:17　　 　　53402
老算人
　　　　「余り」から攻めてみました
１単位当たりの余りを計算（準備段階）
　　ア　４１（１００００１÷８５＝１１７６余り４１）
　　イ　６５
　　ウ　８０（又は不足５）
解答過程
　　�　．◆。械機複苅院滷機瓧架召蝪械機�
　　　　　　　　ア＝５（整数が８５の倍数だから）
　　�◆．◆椒ぁ複亜腺后�
　　　　　　イ　　　　余り
　　　　　　０　３５（（３５＋６５×０）÷８５＝０余り３５）
　　　　　　１　１５
　　　　　　２　８０
　　　　　　３　６０
　　　　　　４　４０
　　　　　　５　２０
　　　　　　６　　０
　　　　　　７　６５
　　　　　　８　４５
　　　　　　９　２５
　　��　ウ＝�△陵召蝓爍機瓧鰻�
　　　　　　該当するのは７通り
　　 6月4日（火） 8:26:33　　 MAIL:takaaki-k@aqr.bbiq.jp 　　53403
KawadaT
85=17*5

アは0でないので、5となり、
6ケタの整数は　5イウウイ5

ここで、イとウはそれぞれ0〜9までの整数であり、すべての場合は10*10=100となります。

500005を17で割ると余り1です。

1) まず500005に1100を繰り返し9回加算してする。
2) 次に1回110を加算し、次に1100を繰り返し9回加算する。
3) 2）の操作をさらに8回繰り返す。

これで100通りの数値が用意されました。

100通りの数値が17で割り切れる場合を数えますと、7通りとなります。

三桁になったら、合同式で位を下げておくといいです。
　　 6月4日（火） 14:40:17　　 　　53404
KawadaT
追加説明です
1100の場合は、17で割った剰余の12、110の場合は17で割った剰余の8を加算します。
　　 6月4日（火） 14:45:12　　 　　53405
「数学」小旅行
ちなみに私は以下のようなオーソドックスなプログラムで、
c=0
for a in 1..9
　　for i in 0..9
　　　　for u in 0..9
　　　　　　if (a*100001+i*10010+u*1100)%85==0 then c+=1
　　　　　　end
　　　　end
　　end
end
p c
　　 6月4日（火） 16:54:45　　 　　53406