今年から高齢者
等脚台形への特殊化で求めました
　　 5月2日（木） 0:10:12　　 　　53312
ドリトル
EF、FG、GH、HEがそれぞれ点A、B、C、Dを通り、かつEF、DB、HGとGF、CA、HEがそれぞれ平行になるように4点E、F、G、Hをとると、四角形EFGHはABCDの2倍の面積の長方形になる。
またM、NはそれぞれPF、PCの中点なので中点連結定理よりMN//FHでFH=20cm。
角度計算をすると角FHG=角HFG=45度になるので長方形EFGHは正方形。
以上より答えは20×20÷2÷2=100cm^2
　　 5月2日（木） 0:14:03　　 　　53313
「数学」小旅行
直角二等辺三角形への特殊化です。
　　 5月2日（木） 0:21:15　　 　　53314
消しゴムパトロール
ドリトルさんと本質は同じですが、逆にＢＣとＤＡの中点（Ｋ，Ｌとします）を取ってＭ，Ｎと結んで平行四辺形ＭＫＮＬを作りました。中点連結定理でＭＫはＡＣの半分…で平行四辺形です。さらに、これらの辺はＰＱ，ＰＲと平行なので正方形となり、対角線が１０ｃｍの正方形が全体の半分なので、全体は１００平方cmになります。
もちろん最初は特殊化で、１辺が10cmの正方形で考えました。
　　 5月2日（木） 0:25:34　　 　　53315
しぷろみ
面倒なベクトルによる解き方　四角形の面積をSとする
→MN=1/2(→AC+→BD)であるから、
→MN・(→AC+→BD)=2＊→MN・→MN=2MN^2=200
→MN・(→AC+→BD)=cos45*10*(AC+BD)
AC+BD=20sqrt2 (AC+BD)^2=AC^2+BD^2+2AC・BD=AC^2+BD^2+4S=800
AC⊥BCより,AC^2+BD^2=(→AC+→BD)・(→AC+→BD)=4MN^2=400
よってs=100
　　 5月2日（木） 0:29:44　　 MAIL:neiny6583@gmail.com 　　53316
スモークマン
特殊化で入りましたが...^^;
消しゴムパトロールさんの
「四角の各辺の中点を結ぶと平行四辺形(長方形)
その対角線の交角が45°から、正方形」
という流れは素敵ですね♪
この四角の対角線の長さは等しいんだ ^^
　　 5月2日（木） 0:47:10　　 　　53317
今年から高齢者
やり直してみたら、消しゴムパトロール＃53315とおなじでした。
対角線が直交する四角形ABCDの4辺の中点MSNTを結べば、長方形。
PQ=PRなので、四角形MSNTは正方形。
この正方形MSNTの面積は10*10/2
ABCD＝2MSNTより、ABCD＝100
　　 5月2日（木） 0:51:01　　 　　53318
今年から高齢者
＃53318。すみません。消しゴムパトロールさんを呼び捨てで記載してしまいました
　　 5月2日（木） 0:53:05　　 　　53319
ベルク・カッツェ
ABを対角線とする長方形APBS、DCを対角線とする長方形DPCTを作ると、��PMNと三角形PSTは1：2の相似になり、直線AS、SB、DT、TCで囲まれた正方形の面積が20×20÷2＝200、求める四角形の面積はその半分で100になりました。
　　 5月2日（木） 1:32:23　　 　　53320
紫の薔薇の人
ADの中点をS、BCの中点をTとすると、
□SMTNは対角線が10cmの正方形・・・(A)
また、□ABCDの面積は、□SMTNの2倍だから・・・(B)
□ABCD＝10*10/2*2＝100
//

(A)は中点連結定理、平行線の同位角、錯覚を使うと分かります、
(B)は次のようにわかりました。

STとMNの交点をOとすると、△SMTNが正方形だから、
それは、ST、MNの中点。

△ASM＋△BMT
＝△ASM＋△AMT
＝2*△AUM
＝△AUM

同様にして、
△SDN+△CNT＝△DUC
△ASM+△SDN＝△AUD
△BMT+△CNT＝△BUC

よって、２*(△ASM＋△BMT+△SDN+△CNT)＝□ABCD
△ASM＋△BMT+△SDN+△CNT＝1/2*□ABCD
よって、□SMTN＝1/2*□ABCD
//

　　 5月2日（木） 1:48:07　　 　　53321
KawadaT
MからBDに垂線を下ろし、足をSとする。
NからACに垂線を下ろし、足をTとする。

PQ=a, QS=b, RT=cとする。

中点連結定理により、AP=2MS=2QS=2b
同じく中点連結定理により、DP=2NT=2RT=2c

DB=DP+2PS=2c+2(a+b)=2(a+b+c)
AC=AP+2PT=2b+2(a+c)=2(a+b+c)

<四角形の対角線は等しくなります>

求める面積Sは、対角線の積/2なので、S=2(a+b+c)^2

ここで、ルート2(a+ｂ+ｃ)=10なので、S=10^2=100となります。
　　 5月2日（木） 10:50:23　　 　　53322
とまぴょん
とりあえずの極限化しての特殊化で。斜辺20cmの直角二等辺三角形の面積に帰着。
　　 5月2日（木） 12:30:38　　 　　53323
よんひ
四角形と、180°回転した四角形で隙間なく並べると
一辺ACやBDでできた長方形で埋め尽くされていることがわかります。
これの対角線が2MNと同じ20cmになり、これが長方形の各辺と45°で交差することがわかるので、長方形は面積200cm&#178;の正方形になり、
もとの四角形は100cm&#178;になります。
https://imgur.com/a/vJHCEOR
　　 5月2日（木） 13:04:14　　 　　53324
算数・数学好きの中学生
1分切っている人が2人もいるとは……………………
凄すぎます！！！！！！
　　 5月2日（木） 20:10:39　　 　　53325
よんひ
その2人がどのように解いたかはわかりませんが、A,P,Dを一点に集めれば斜辺20cmの直角二等辺三角形になるので回答自体は１分もかかりません。
一般的に成り立つのを証明するのは1分ではとても。
　　 5月3日（金） 14:31:31　　 　　53326
ゴンとも
特殊化しなくても以下のように座標でできましたが1.5時間以上かかったんで
だいぶ難しい問題だと思います。

座標でN(0,0),M(-10,0),A(c,d),B(-c-20,-d),C(a,-b),D(-a,b)
ここで直線ACの傾きが-1より-(b+d)/(a-c)=-1変形して(b+d)/(a-c)=1変形してb+d=a-c
また直線BDの傾きが1より(b+d)/(-a+20+c)=1変形してb+d=-a+20+c より
a-c=-a+20+c変形して2*a-2*c=10変形してa-c=10変形してc=a-10
より最初の座標はA(a-10,d),B(-a-10,-d),C(a,-b),D(-a,b)・・・・・・(2)
ここで直線BDの傾きが1より(b+d)/10=1変形してb+d=10変形してd=10-b
より(2)はさらにA(a-10,10-b),B(-a-10,b-10),C(a,-b),D(-a,b)
ここで三平方でAC=sqrt(10^2+10^2),BD=sqrt(10^2+10^2) より
□ABCD=AC*BD/2=200/2=100・・・・・・(答え)
豊川市　　 5月3日（金） 22:53:53　　 　　53327
ミヤマ
消しゴムパトロールさんのが分かりやすいですね。四角形ABCDの各中点が作る図形は正方形で、その対角線が10、従ってその正方形の面積が100/2=50
これは四角形ABCDの半分の面積なので、四角形ABCDの面積は100
　　 5月5日（日） 10:17:55　　 　　53331