ベルク・カッツェ
今日はお休みかと思っていたら更新されていました。
ア4　1通り
イ4　4通り
ウ4　1通り
ア2ウ2　3通り
イ2ウ2　6通り
イ2ア2　6通り
イ2ア1ウ1　4通り
25通りになりました。
　　 8月24日（木） 0:40:06　　 　　52707
消しゴムパトロール
いつの間にか更新されていましたね。
幅２は１通り、幅４(２のところで分断されず４のところで分断される)は３通り、幅６は２通り、幅８は２通りの並べ方。
２，２，２，２　→　並べ替え１通りなので１×１×１×１×１＝１通り
２，２，４　→　並べ替え３通りなので、３×１×１×３＝９通り
２，６　→　並べ替え２通りなので、２×１×２＝４通り
４，４　→　並べ替え１通りなので、１×３×３＝９通り
８　→　並べ替え１通りなので、１×２＝２通り
すべて足して25通り
　　 8月24日（木） 0:45:50　　 　　52708
鯨鯢(Keigei)
「これら３種類のパーツを使って」を、
最初３種類とも使うと解釈し、
４通りと解答してしまいました。
　　 8月24日（木） 0:56:50　　 　　52709
紫の薔薇の人
ウ４・・・1通り
ウ３・・・0通り
ウ２

2*2(ウ)2組と2*4１組の配置が３通り。
2*4をア２で1通り、イ２で2通り。
だから3*(1+2)＝9通り。

ウ１
2*2(ウ)1組と2*6１組の配置が2通り。
2*6は、例図と上下反転の2通り。
だから、2*2＝4通り。

ウ０
2*4２組の場合が、3*3＝9通り。
その他、
イアアアアイイイ
イイイアアアアイ
とその反転で2通り。

合計して25通り。

　　 8月24日（木） 0:56:58　　 　　52710
みかん
#52708　と同じやり方でした。
もう少し横が長いと、漸化式っぽく解くのを検討した方がよさそう。
　　 8月24日（木） 0:59:51　　 　　52712
今年から高齢者
二段のできる組み合わせ
A：ウ……………….長さ2、上下反転1
B：アア…………….長さ4、上下反転1
C：イイ……………長さ4、上下反転2
D：イアイ………….長さ6、上下反転2
E：イアアイ………長さ8、上下反転2
上記で長さ8になる組み合わせ
AAAA＝1
AAB＝3
AAC＝6
AD＝4
BB＝1
BC＝4
CC＝4
E＝2
合計25とおり
　　 8月24日（木） 1:00:07　　 　　52713
「数学」小旅行
２・２の正方形の個数で場合分けして数えました。
２・４をアとイで埋めるのが３通りあるところが味噌では！？
　　 8月24日（木） 1:54:24　　 　　52714
いちごみるく
埋めてる途中の状態が以下の３つに分類できるので
A.
******
******
B.
***
*****
C.
*****
***
漸化式が以下のように立つので(上の図はそれぞれA[6],B[5],C[5])
A[0] = 1,B[0] = 0,C[0] = 0
A[n] = A[n-4] + A[n-2] + B[n-1] + C[n-1]
B[n] = A[n-3] + C[n-2]
C[n] = A[n-3] + B[n-2]
A[16]が答え
https://wandbox.org/permlink/lVFxVMcACpAeeE2S
　　 8月24日（木） 6:57:30　　 　　52715
吉川マサル
昨晩はすみません、更新ファイルの転送を忘れいていることに、入浴中に気づいて、慌ててPCに戻って更新するという失態をしてしまいました。ご迷惑をおかけした皆様、申し訳ありませんでした。
自宅　　 8月24日（木） 9:00:39　　 　　52716
まるケン
罫線はちゃんと表示されるかな？
┌─┐
│　│
└─┘
　　 8月25日（金） 19:54:40　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp 　　52717
まるケン
どうにか読める程度に表示できたので、、、
ウの形がいくつあるかで場合分けして、紙に書き出して数えました。

まずはウが４つの場合、以下の１通り。
┌─┬─┬─┬─┐
│　│　│　│　│
└─┴─┴─┴─┘

３つの場合、、、これはあり得ないです。

２つの場合、だんだん複雑になってきます。

アとウだけの場合は以下の３通り

┌─┬─┬───┐
│　│　├───┤
└─┴─┴───┘
┌─┬───┬─┐
│　├───┤　│
└─┴───┴─┘
┌───┬─┬─┐
├───┤　│　│
└───┴─┴─┘

イとウだけの場合、イの向きがあるので倍になり、以下の６通り

┌─┬─┬──┬┐┌─┬─┬┬──┐
│　│　│┌─┘││　│　│└─┐│
└─┴─┴┴──┘└─┴─┴──┴┘
┌─┬──┬┬─┐┌─┬┬──┬─┐
│　│┌─┘│　││　│└─┐│　│
└─┴┴──┴─┘└─┴──┴┴─┘
┌──┬┬─┬─┐┌┬──┬─┬─┐
│┌─┘│　│　││└─┐│　│　│
└┴──┴─┴─┘└──┴┴─┴─┘

ウが１つの場合、以下の４通り
┌─┬──┬──┐┌─┬┬───┬┐
│　│┌─┴─┐││　│└─┬─┘│
└─┴┴───┴┘└─┴──┴──┘
┌──┬──┬─┐┌┬───┬┬─┐
│┌─┴─┐│　││└─┬─┘│　│
└┴───┴┴─┘└──┴──┴─┘

ウは使わない場合

アだけの場合は以下の１通り
┌───┬───┐
├───┼───┤
└───┴───┘

イだけの場合、以下の４通り。

┌──┬┬──┬┐┌┬──┬┬──┐
│┌─┘│┌─┘││└─┐│└─┐│
└┴──┴┴──┘└──┴┴──┴┘
┌┬──┬──┬┐┌──┬┬┬──┐
│└─┐│┌─┘││┌─┘│└─┐│
└──┴┴┴──┘└┴──┴──┴┘

アとイだけの場合、これがなかなか複雑。多分以下の６通り。

┌──┬┬───┐┌┬──┬───┐
│┌─┘├───┤│└─┐├───┤
└┴──┴───┘└──┴┴───┘
┌───┬──┬┐┌───┬┬──┐
├───┤┌─┘│├───┤└─┐│
└───┴┴──┘└───┴──┴┘
┌──┬───┬┐┌┬───┬──┐
│┌─┴─┬─┘││└─┬─┴─┐│
└┴───┴──┘└──┴───┴┘

１＋３＋６＋４＋１＋４＋６＝２５
　　 8月25日（金） 19:55:47　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp 　　52718
今年から高齢者
A：ウ………………長さ2、上下反転1
B：アア……………長さ4、上下反転1
C：イイ……………長さ4、上下反転2
D：イアイ…………長さ6、上下反転2
E：イアアイ………長さ8、上下反転2
長さが2nの組み合わせ数をa(n)とすると
a(1)＝1、a(2)＝a(1)+3＝4、a(3)＝a(2)+3a(1)+2＝9、a(4)＝a(3)+3a(2)+2a(1)+2＝25
n≧5の場合
a(n)＝a(n-1)+3a(n-2)+2a(n-3)+2a(n-4)
a(n-1)の係数1はAを付け加える方法、
a(n-2)の係数3はBとCを付け加える方法
a(n-3)の係数2はDを付け加える方法
a(n-4)の係数2はEを付け加える方法
これを順次計算すれば
n________a(n)
4________25
5________62
6_______163
7_______417
8______1080
9______2781
10_____7181
11____18518
12____47783
　　 8月25日（金） 20:28:59　　 　　52719
いちごみるく
#52719
みたいなのの存在忘れてません？
┌──┬───┬──┐
│┌─┴─┬─┴─┐│
└┴───┴───┴┘
┌──┬───┬───┬┐
│┌─┴─┬─┴─┬─┘│
└┴───┴───┴──┘
　　 8月25日（金） 20:53:49　　 　　52720
まるケン
左端から埋めていく過程で、末端がどのような形になっているかを考えます。
上下の違いはとりあえず無視すると、以下の３通りが考えられます。

┐
a │
┘
──┐
b ┌─┘
┘
───┐
c ───┘

一番最初はまだ何も置かれていないので、a の形と考えます。

なので、初期値 (a, b, c) = (1, 0, 0) です。

次の段階でaの形になるのは、前回aでウを置いた場合と、
前回 b でイの向きを変えておいた場合と、
前回 c でアをおいた場合の合計。
すなわち、a(n) = a(n-1) + b(n-1) + c(n-1) となります。

次の段階でbの形になるのは、前回aでイを置いた場合（向きは2通り）と、
前回bで隙間にアを置いた場合の合計。
すなわち、b(n) = a(n-1) * 2 + b(n-1) となります。

次の段階でcの形になるのは、前回aでアを置いた場合だけ。
すなわち、c(n) = a(n-1) となります。

これを計算していくと、、、

0 1
1 1
2 4
3 9
4 25
5 64
6 169
7 441
8 1156
9 3025
10 7921
11 20736
12 54289
13 142129
14 372100
15 974169
16 2550409
17 6677056
18 17480761
19 45765225
20 119814916

となりました。
　　 8月26日（土） 14:58:33　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp 　　52721
まるケン
わっ！罫線がずれた！！
こんな感じを描きたかったのに、、、

a
　┐
　│
　┘

b
　──┐
　┌─┘
　┘

c
　───┐
　───┘

　　 8月26日（土） 15:01:08　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp 　　52722
いちごみるく
これよくみるとフィボナッチの２乗ですね
　　 8月26日（土） 15:36:37　　 　　52723
まるケン
なんと、フィボナッチの２乗だったとは！！
　　 8月26日（土） 15:47:19　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp 　　52724
みかん
今回の問題をちょっと置き換えて考えます。

２×２のブロック（あ）は赤の１色、２×４のブロック（い）は赤・青・黄の３色、
２×６のブロック（う）、２×８のブロック（え）、２×１０のブロック（お）は
それぞれ赤・青の２色がある。
いずれのブロックもたくさんあるものとする。

・２×２の敷き詰め
（あ）を置くのみなので１通り

・２×４の敷き詰め
　２×２の敷き詰め＝１通り　のあと、（あ）を置く＝１通り　→１×１＝１通り
　（い）を置く→３通り
以上、１＋３＝４通り

・２×６の敷き詰め
　２×４の敷き詰め＝４通り　のあと、（あ）を置く＝１通り　→４×１＝４通り
　２×２の敷き詰め＝１通り　のあと、（い）を置く＝３通り　→１×３＝３通り
　（う）を置く→２通り
以上、４＋３＋２＝９通り

・２×８の敷き詰め
　２×６の敷き詰め＝９通り　のあと、（あ）を置く＝１通り　→９×１＝９通り
　２×４の敷き詰め＝４通り　のあと、（い）を置く＝３通り　→４×３＝１２通り
　２×２の敷き詰め＝１通り　のあと、（う）を置く＝２通り　→１×２＝２通り
　（え）を置く→２通り
以上、９＋１２＋２＋２＝２５通り

・２×１０の敷き詰め
今までと同様にすると、２５×１＋９×３＋４×２＋１×２＋２＝６４通り

これ以降２×ｎの敷き詰めは、
　横（ｎ−２）マスの敷き詰め×１
　横（ｎ−４）マスの敷き詰め×３
　横（ｎ−６）マスの敷き詰め×２
　…（中略）
　横２マスの敷き詰め×２
　横２×ｎマスのブロックを置く…横６マス以上はいつも２色のみ
の合計ということになるはず。

「１段または２段ずつ階段を上る場合の数」のように、２つ前までだけを見て計算するのではないため
横の数が増えると途端に手計算だと辛くなります。
　　 8月26日（土） 17:34:47　　 　　52725
今年から高齢者
#52719、間違っていました。まるケンさんの結果を見て気づきました。
nが大きくなると、アとイでできる長方形の種類が増えるので、もっと多くなってきますね。
　　 8月26日（土） 18:14:09　　 　　52726
今年から高齢者
nが増えてゆくに従って、新しいパターンの長方形が増えてゆくのを修正すると
n≧5の場合
a(n)＝a(n-1)+3a(n-2)+2Σ[1≦k≦n-3]a(k)+2……………��
nを一つ大きくして、a(n+1)＝a(n)+3a(n-1)+2Σ[1≦k≦n-2]a(k)+2……………��
��-�，茲蝓�a(n+1)=2a(n)+2a(n-1)-a(n-2)
計算結果は、まるケンさんと同じになりました
　　 8月26日（土） 21:00:42　　 　　52727
「数学」小旅行
この4項間漸化式を解くと
a(n)=-2/5*(-1)^(n-1)+(7+3*sqrt(5))/10*((3+sqrt(5))/2)^(n-1)+(7-3*sqrt(5))/10*((3-sqrt(5))/2)^(n-1)
になりますね。
　　 8月28日（月） 10:37:02　　 　　52728
「数学」小旅行
これが、ヒィボナッチ数列の一般項の２乗になることは計算で確かめられました。
一方、ヒィボナッチ数列の一部を、ａ，ｂ，ｃ，ｄとすると
ｂ＝ｃ＋ｄ
ｂ−ｃ＝ｄ
ｂ＾２−２ｂｃ＋ｃ＾２＝ｄ＾２
２ｂｃ＝ｂ＾２＋ｃ＾２−ｄ＾２
ｂ＾２＋２ｂｃ＋ｃ＾２＝２＊ｂ＾２＋２＊ｃ＾２−ｄ＾２
（ｂ＋ｃ）＾２＝２＊ｂ＾２＋２＊ｃ＾２−ｄ＾２
ａ＾２＝２＊ｂ＾２＋２＊ｃ＾２−ｄ＾２
のように、この４項間漸化式が成り立つことが分かりました。
でも、この場合にどうしてそうなるのか、ふしぎなことですね。
　　 8月28日（月） 15:56:10　　 　　52729
「数学」小旅行
皆さんが解いておられるので蛇足ですが、私なりに漸化式を考えてみました。
ア、イ、ウの3種のタイルｎ個を縦２の長方形の中へ左詰で隙間なく、上下段の差が出来るだけ少なくなるように埋めていくと
右端は2個の正方形が飛び出す形（上下あり）か、飛び出さない形（長方形）のいずれかになります。
後者の形になる埋め方をａ（ｎ）通り、前者の形になる埋め方をｂ（ｎ）通りとします。
まず、ａ（ｎ）＝ａ（ｎ−１）＋ａ（ｎ−２）＋ｂ（ｎ−１）です。
ａ（ｎ）の形になるのが１通りしかない前状態の和と考えています。(経過途中で他の状態と重複しないように)
ａ（ｎ−１）からはウを足す。ａ（ｎ−２）からはア２個を足す。ｂ（ｎ−１）からはイまたはイの反転を足す。
次に、
ｂ（ｎ）＝ａ（ｎ−１）＋ａ（ｎ−１）＋ｂ（ｎ−１）です。
１つ目のａ（ｎ−１）からはイを足す。２つめのａ（ｎ−１）からはイの反転を足す。ｂ（ｎ−１）からはアを足す（飛び出す方は上下入れ替わり）。
ここで、ａ（０）＝ａ（１）＝１、ｂ（０）＝０、ｂ（１）＝２となります。

今回、漸化式を考えてみることができて、格別におもしろかったです。ありがとうございました。
　　 8月30日（水） 9:28:28　　 　　52730