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巷の夢 |
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どなたも書き込んでいらっしゃらないので・・・、算数では分からず、
数学で解きました。三角形の正弦定理と余弦第2定理を使いました。 BQ＝X、CR＝Y、AP＝Xとし、X+Y+Z=5を使うと、X=(8/3)Z,Y=3Zとなるので、 Z=3/4となりました。算数ではどうやるのでしょうか・・・・？ |
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真白き富士の嶺
5月4日（木） 11:06:22
52418 |
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量子論 |
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私もわからなかったので、△ADCと△FBCがともに二等辺三角形
であるとみなして（実際はちがうはず）、三平方、相似などを 駆使して数学で解く。 AP=7/12, RC=7/4, BQ=14/9と求まるが、3つ足しても5にはならず。 ただ、3つの長さの比自体は変わらないだろうと勝手に予測し、 3/4をひねり出しました。 切り貼り、埋め込みで解くのかなあと思うけど、ムズイ。 |
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5月4日（木） 14:24:48
52419 |
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Jママ |
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算数解法はやはり分からなかったのであとで考えます
△ABD∽△BQD, △BCE∽△CRE, △CAF∽△APF よりそれぞれの相似比が等しい式をつくり △BQD, △CRE, △APF における正弦定理より、 AB:BQ=sinB:sin● BC:CR=sinC:sin● CA:AP=sinA:sin● を導きました よって BQsinB:CRsinC:APsinA=4:6:3…(1) △ABCにおいて正弦定理より sinC:sinA:sinB=4:6:3…(2) (1)(2)より3BQ:4CR:6AP=4:6:3=24:36:18 BQ:CR:AP=8:9:3 よって AP=5×3/(8+9+3)=3/4 |
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5月4日（木） 17:42:41
52420 |
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Jママ |
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追記
△ABC∽△PQRとなるので例えば∠BQD=∠Bとなることを正弦定理に用いてます |
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5月4日（木） 17:50:15
52421 |
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Jママ |
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度々すみません、追記の部分は必要ないですね、
相似が言える時点で角度は同じなので…。 |
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5月4日（木） 18:43:28
52422 |
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ゴンとも |
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座標でA(0,0),B(-4,0)
点Bを中心に長さ6の円:(x+4)^2+y^2=36 点Aを中心に長さ6の円:x^2+y^2=9 この交点でC(11/8,sqrt(455)/8) 直線BC:y=sqrt(455)*(x+4)/43 ここでx=aとしてP(a,sqrt(455)*(a+4)/43) より 直線AD:y=-sqrt(455)*(a+4)*x/43/-a・・・・・・(1) tan(緑の●)=sqrt(455)*(a+4)/43/-a・・・・・・(2) tan(緑の●+∠EBA)=sqrt(455)/43 加法定理より (tan(∠EBA)+tan(緑の●))/(1-tan(緑の●)*tan(∠EBA))=sqrt(455)/43 これと(2)とより tan(∠EBA)=43*sqrt(455)*(a+2)/(697*a-910) より 直線BE:y=43*sqrt(455)*(a+2)*(x+4)/(697*a-910)・・・・・・(3) -tan(∠CFA)=-tan(緑の●+∠CAF) tan(∠CAF)=-sqrt(455)/11これと(2)とで加法定理より 直線CF:y=sqrt(455)*(27*a+22)* (x-11/8)/(9*a-910)+sqrt(455)/8・・・・・・(4) 直線ADと直線CFの交点P Pのx座標:(387*a^2+1548*a)/(288*a^2+455*a+910) Pのy座標:(4095*a^2+32760*a+65520)/(288*sqrt(455)*a^2+455^(3/2)*a+2*455^(3/2)) 三平方でAP=18*sqrt(2)*(a+4)/sqrt(288*a^2+455*a+910)・・・・・・(5) 直線ADと直線BEの交点Q Qのx座標:-(1849*a^2+3698*a)/(288*a^2+455*a+910) Qのx座標:-(19565*a^2+117390*a+156520) /(288*sqrt(455)*a^2+455^(3/2)*a+2*455^(3/2)) 三平方でBQ=48*sqrt(2)*(a+4)/sqrt(288*a^2+455*a+910)・・・・・・(6) 直線CFと直線BEの交点R Rのx座標: Rのy座標: 三平方でCR=54*sqrt(2)*(a+4)/sqrt(288*a^2+455*a+910)・・・・・・(7) これと(5),(6)より AP+BQ+CR=120*sqrt(2)*(a+4)/sqrt(288*a^2+455*a+910) これが5より a=(43*sqrt(8761)-8761)/1728・・・・・・(8) これと(5)とより AP=3/4・・・・・・(答え) あと残りの長さは BQ=8*(3/4)/3=2,CR=3*(3/4)=9/4で AP+BQ+CR=3/4+2+9/4=5で検算で・・・ なんとか座標でできてよかったという感じです!! |
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豊川市
5月4日（木） 20:54:55
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 52423 |
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ゴンとも |
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#52423
文章にすきまができてしまったのとRのx,y座標が抜けてて・・・ 座標でA(0,0),B(-4,0) 点Bを中心に長さ6の円:(x+4)^2+y^2=36 点Aを中心に長さ6の円:x^2+y^2=9 この交点でC(11/8,sqrt(455)/8) 直線BC:y=sqrt(455)*(x+4)/43 ここでx=aとしてP(a,sqrt(455)*(a+4)/43) より 直線AD:y=-sqrt(455)*(a+4)*x/43/-a・・・・・・(1) tan(緑の●)=sqrt(455)*(a+4)/43/-a・・・・・・(2) tan(緑の●+∠EBA)=sqrt(455)/43 加法定理より (tan(∠EBA)+tan(緑の●))/(1-tan(緑の●)*tan(∠EBA))=sqrt(455)/43 これと(2)とより tan(∠EBA)=43*sqrt(455)*(a+2)/(697*a-910) より 直線BE:y=43*sqrt(455)*(a+2)*(x+4)/(697*a-910)・・・・・・(3) -tan(∠CFA)=-tan(緑の●+∠CAF) tan(∠CAF)=-sqrt(455)/11これと(2)とで加法定理より 直線CF:y=sqrt(455)*(27*a+22)* (x-11/8)/(9*a-910)+sqrt(455)/8・・・・・・(4) 直線ADと直線CFの交点P Pのx座標:(387*a^2+1548*a)/(288*a^2+455*a+910) Pのy座標:(4095*a^2+32760*a+65520)/(288*sqrt(455)*a^2+455^(3/2)*a+2*455^(3/2)) 三平方でAP=18*sqrt(2)*(a+4)/sqrt(288*a^2+455*a+910)・・・・・・(5) 直線ADと直線BEの交点Q Qのx座標:-(1849*a^2+3698*a)/(288*a^2+455*a+910) Qのx座標:-(19565*a^2+117390*a+156520) /(288*sqrt(455)*a^2+455^(3/2)*a+2*455^(3/2)) 三平方でBQ=48*sqrt(2)*(a+4)/sqrt(288*a^2+455*a+910)・・・・・・(6) 直線CFと直線BEの交点R Rのx座標:(3330*a^2-10727*a-55510)/(2304*a^2+3640*a+7280) Rのy座標:(352170*a^2+1271725*a+1134770) /(2304*sqrt(455)*a^2+8*455^(3/2)*a+16*455^(3/2)) 三平方でCR=54*sqrt(2)*(a+4)/sqrt(288*a^2+455*a+910)・・・・・・(7) これと(5),(6)より AP+BQ+CR=120*sqrt(2)*(a+4)/sqrt(288*a^2+455*a+910) これが5より a=(43*sqrt(8761)-8761)/1728・・・・・・(8) これと(5)とより AP=3/4・・・・・・(答え) |
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豊川市
5月4日（木） 21:02:12
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 52424 |
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清一 |
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これは難しいな。
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5月4日（木） 21:08:32
52425 |
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Jママ |
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算数解法ぽいのができました
AD, BE, CF をそれぞれ延長し、 ∠X=∠C, ∠Y=∠A, ∠Z=∠Bとなるように、 △BQX, △CRY, △APZ を作ると、 これらの三角形は△ABCと相似を成す。 少し端折りますが相似な図形から、ファイルのように式を作って解きました。 https://d.kuku.lu/csx67zjeh もっと良い方法もありそうですが… お見苦しい手書きですみませんm(_ _)m |
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5月4日（木） 22:30:53
52426 |
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鉄老 |
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算数解法です。
∠CAD=∠QPR―◯, ∠ABE=∠PQR―◯, ∠BCF=∠PRQ―◯より ∠CAB=∠QPR, ∠ABC=∠PQR, ∠BCA=∠PRQ よって、△ABCと△PQRは相似である。 PR : PQ : QR = 3 : 4 : 6なのでPR=��cm, PQ=��cm, QR=��cmとすると △PQR : △APR : △BQP : △CRQ : △APB : △BQC : △CRA =�� : AP×3 : BQ×2 : CR×4 : BQ×2×AP/�� : CR×4×BQ/�� : AP×3×CR/�� …式1 ここで、∠BAP=∠CBQ=∠ACR=◯なので、 △APB : △BQC : △CRA=4×AP : 6×BQ : 3×CR …式2 よって、式1と式2より BQ×2×AP/�� : CR×4×BQ/�� : AP×3×CR/��=4×AP : 6×BQ : 3×CR BQ×2/�� : CR×4/�� : AP×3/��=4 : 6 : 3=4×⬜ : 6×⬜ : 3×⬜より BQ=4×⬜×�ぁ�2, CR=6×⬜×�Α�4, AP=3×⬜×��÷3 BQ=8×⬜×��, CR=9×⬜×��, AP=3×⬜×�� 以上より、BQ : CR : AP = 8 : 9 : 3 つまり、AP = 5×3 / (8+9+3) = 0.75 cm …(答え) |
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5月4日（木） 23:39:43
52427 |
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鉄老 |
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先ほどのは文字化けしていたので修正します。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 算数解法です。 ∠CAD=∠QPR―◯, ∠ABE=∠PQR―◯, ∠BCF=∠PRQ―◯より ∠CAB=∠QPR, ∠ABC=∠PQR, ∠BCA=∠PRQ よって、△ABCと△PQRは相似である。 PR : PQ : QR = 3 : 4 : 6なのでPR=��cm, PQ=��cm, QR=��cmとすると △PQR : △APR : △BQP : △CRQ : △APB : △BQC : △CRA =�� : AP×3 : BQ×2 : CR×4 : BQ×2×AP/�� : CR×4×BQ/�� : AP×3×CR/�� …式1 ここで、∠BAP=∠CBQ=∠ACR=◯なので、 △APB : △BQC : △CRA=4×AP : 6×BQ : 3×CR …式2 よって、式1と式2より BQ×2×AP/�� : CR×4×BQ/�� : AP×3×CR/��=4×AP : 6×BQ : 3×CR BQ×2/�� : CR×4/�� : AP×3/��=4 : 6 : 3=4×■ : 6×■ : 3×■ BQ=4×■×�ぁ�2, CR=6×■×�Α�4, AP=3×■×��÷3 BQ=8×■×��, CR=9×■×��, AP=3×■×�� 以上より、BQ : CR : AP = 8 : 9 : 3 つまり、AP = 5×3 / (8+9+3) = 0.75 cm …(答え) |
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5月4日（木） 23:59:31
52428 |
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かずき0202 |
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一応できました
これはかなり難しかったです |
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5月5日（金） 7:39:37
52429 |
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「数学」小旅行 |
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連休で曜日感覚が麻痺してました。
遅ればせながら、しかも難しかった。 |
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5月5日（金） 15:55:42
52432 |
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とまぴょん |
| 手ごたえがありました。元ネタはあるのかな？ 全くのオリジナルですか？ すごい。 |
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5月5日（金） 16:53:59
52433 |
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ゴンとも |
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#52424
自己レスですが△ABC∽△PQRが成り立つらしいので 自分の解法で確かめました。 P(-sqrt(8761)/128,sqrt(455)/128) Q((43*sqrt(8761)-8761)/2304,sqrt(455)*(sqrt(8761)-43)/2304) R((953-11*sqrt(8761))/1024,sqrt(455)*(139-sqrt(8761))/1024) PQ=4*(sqrt(8761)-61)/96 QR=6*(sqrt(8761)-61)/96 RP=3*(sqrt(8761)-61)/96 で確かに成りたつみたいですね。 |
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豊川市
5月5日（金） 17:26:37
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 52434 |
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algebra |
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∠BAD＝∠CBE＝∠ACF＝θとおくと，相似，正弦定理，余弦定理を用いて、
AP＝72sinθ/√455，BQ＝192sinθ/√455，CR＝216sinθ/√455 よって，AP：BQ：CR＝3：8：9 AP＋BQ＋CR＝5 より AP＝5(cm) |
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5月5日（金） 17:28:07
52435 |
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algebra |
| 訂正：AP＝3/4(cm) |
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5月5日（金） 17:30:39
52437 |
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吉川 マサル |
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#52433
いえ、元ネタありです。（出題の方法は、微妙に違っていますけれど） |
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会社とか
5月6日（土） 14:22:33
HomePage:アリーナ 52438 |
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吉川 マサル |
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基本的には、面積比だけで解けるようになっているのですが、なかなか難しいと（原題を見たときに）思いました。
∠A + ∠A' = 180°の関係のある、△ABCと△A'B'C'があるとき、面積比はBA x CA : B'A' x C'A'となることを、利用するものでした。 |
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会社とか
5月6日（土） 14:35:26
HomePage:アリーナ 52439 |
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「数学」小旅行 |
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いまだに正弦定理を使うしかできないのですが、私の場合以下のごとく。
△ＡＢＣ∽△ＰＱＲがいえるので、∠ＢＡＱ=θとして △ＡＢＱにおいて、∠ＡＱＢ＝π−∠Ｂで、正弦定理により、ＢＱ＝４sinθ／sinＢ 同様にして、ＣＲ＝６sinθ／sinＣ，ＡＰ＝３sinθ／sinＡです。 ところで△ＡＢＣにおいて、正弦定理を適用すると、sinA：sinB:sinC=６：３：４だといえます。 したがって、AP:BQ:CR=３：８：９がわかります。よって、AP=５＊３／（３＋８＋９）＝３／４です。 |
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5月6日（土） 15:08:54
52440 |
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KawadaT |
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三角形ABCと三角形PQRは、作図条件より相似です。相似比を1:mとします。
また、AP=a, BQ=b, CR=cとします。 マサルさんのコメントを受けて、3つの三角形の面積比は以下のようになります。 三角形APC:三角形CRB:三角形BQA=a(3m+c)/12m^2:c(6m+b)/18m^2:b(4m+a)/24m^2 また、作図条件より、同じ大きさの頂角を挟む2辺の積が、三角形の面積比になるので、 三角形APC:三角形CRB:三角形BQA= 3(3m+c):6(6m+b):4(4m+a) でもあります。 従って、上の二つの面積比に関する式は、次のように単純化した等式になります。 a/12:c/18:b/24=3:6:4 この式から、a:b:c=3:8:9が導かれます。 a+b+c=5なので、5*(3/20)=3/4 cmになります。 |
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5月8日（月） 15:33:19
52441 |
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vibakari |
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Jママさんの#52426とほぼ同じ図になったのですがアプローチが違ったので。
円周角の定理を使っていいのか悩むところですが。 △ABC∽△PQR ADを延長して△PGC∽△PQRとなるような点Gをとると、CR:GQ=RP:QP=3:4 ∠ABC=∠AGCなので円周角の定理の逆により４点A,B,C,Gは同一円周上にある。 円周角の定理により∠AGB=∠ACB ∠QGB=∠BCA,∠BQG=∠ABCより△BQG∽△ABCなので、GQ:BQ=6:4=3:2 同様に CFを延長して△HBR∽△PQRとなるような点Hをとると、BQ:HP=6:3=2:1 △PHA∽△ABCなので、HP:AP=4:3 以上よりCR:BQ:AP=9:8:3 ∴AP=5*3/(9+8+3)=3/4 |
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5月9日（火） 10:05:38
52442 |
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ベルク・カッツェ |
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算数解法が全く思いつかず、しばらく放置していました。
AP=ア、BQ=イ、CR=ウ、三角形PQRはABCと相似なので三辺を3、4、5として、三角形PQRの面積を12とおくと、辺の比と面積比から三角形PAB=1/2×ア×イ、QBC=2/3×イ×ウ、RAC=ア×ウとなり、またこの3つの面積比は同じ角を挟む二編の長さの積の比なので4×ア：6×イ：3×ウ、よって3/4×イ＝2/3×ウ＝2×アとなりア：イ：ウ＝3：8：9、合計5ｃｍなのでアは5ｃｍ×3/20＝3/4ｃｍとなりました。 式で解いていてあまり算数っぽくありませんが。 |
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5月9日（火） 16:27:17
52443 |
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ベルク・カッツェ |
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間違えました。
三角形PQRはABCと相似なので三辺を3、4、5→3，4、6です。 |
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5月9日（火） 16:33:19
52444 |
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吉川 マサル |
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#52443
はい、これが想定解でした。お見事です。（私はネタを知っていて出題しているので...） |
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会社とか
5月9日（火） 16:46:53
HomePage:アリーナ 52445 |
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わらび餅 |
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「算数にチャレンジ！！」の問題は始めたやったんですけど
難しいですね、、、 |
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5月9日（火） 22:15:20
52446 |