紫の薔薇の人

一辺1cmの正三角形の面積の何倍かの典型問題かと思ったが、それだと寸法が合わない気がする。3+10+1＝3+6+5＝14だが、1+9+5＝15だから。 平行六角形ができるのか、答えに√が出ないのか心配しながら、もう一度考えてみる。

3月4日（木） 0:15:33　　 　　50232

ベルク・カッツェ

ＡＢとＣＤを左下に延長、ＡＦとＤＥを右上に延長して平行四辺形に。 左下にできる1ｃｍ、1ｃｍ、1.2ｃｍの二等辺三角形の集まりとして考えて、これを半分にして3：4：5の直角三角形ができて、底辺1.2ｃｍで高さ0.8ｃｍとなりました。 平行四辺形は10.2×8.8、あとは周囲の各三角形を辺の比で求めて、色のついた部分を計算したら98.4になりました。

3月4日（木） 0:23:58　　 　　50233

ベルク・カッツェ

とりあえず計算ミスなどあるかもしれないので検算してみます。

3月4日（木） 0:25:03　　 　　50234

ベルク・カッツェ

まずひとつ訂正、整数倍ではないので集まりではありませんね。

3月4日（木） 0:27:18　　 　　50235

ベルク・カッツェ

三角形の面積がひとつ間違ってました。 正解は84でした。お騒がせしました。

3月4日（木） 0:34:14　　 　　50236

マサル

すみません、正解ファイルを置くのを忘れてました。m(_ _)m

自宅　　 3月4日（木） 0:34:40　　 HomePage:ARENA　　50237

紫の薔薇の人

一辺1cmの正三角形の面積の何倍かの典型問題の出題ミスかと思って、送ってみたら、正解者リストに載ったから、やっぱりそうだったのかな？ その後で、ベルク・カッツェさんの答を見て、考え直しているところ。

3月4日（木） 0:35:46　　 　　50238

ドリトル

#50238同感です。 3:4:5はいけたけど、どこで計算ミスしたのだろう……。 と思ったら、右のやつの右下の計算を ○0.48×15/2 × 0.48×9 にしてました。面倒だった…

3月4日（木） 0:50:51　　 　　50239

マサル

もともとは、もとの六角形の辺の長さに関わらず、図１と図２が同じ面積になるというネタをなんとか問題にしようとして、いろいろやってたら、出来たという...そんな感じです。

自宅　　 3月4日（木） 0:54:16　　 HomePage:ARENA　　50240

量子論

2004年の灘の算数（第１日目）の解き方でいけます。 内部に平行線をひいて区切っていくと、真ん中に 3:4:5の三角形が２つ埋め込まれているのがわかり、 その面積を頼りに周囲の平行四辺形の面積を求めれば 出せます。 すごくいい問題だと思います。

3月4日（木） 1:00:37　　 　　50241

今年から高齢者

六角形は長方形から、3:4:5の三角形を切り取った形？

3月4日（木） 1:00:51　　 　　50242

紫の薔薇の人

典型題のアレンジで平行四辺形に帰着させるのは、思いつきませんでした。 今回は、検算するだけになってしまいました。恥ずかしい。

3月4日（木） 1:05:46　　 　　50243

量子論

#50241 続き 図１と図２で、平行線のひき方は変えましたが、いずれの場合も 真ん中に3:4:5の三角形２つからなる２等辺三角形があり、 そのまわりを３つの平行四辺形が囲むようになります。 平行四辺形の面積半分＋中央の２等辺三角形で求まります。

3月4日（木） 1:10:59　　 　　50244

Jママ

認証できなかったのでしばらく悩んでましたが 思い切って送信したら合ってそうでした 先週の答えのままですね。 分からなくて数学で解きました。 対辺までの距離3つをそれぞれsinA,sinB,sinCで二通りずつ表し、等式で結ぶと sinA=sinC,6sinA=5sinBとなりました。 六角形の内角の和は720度なので、A+B+C=360度。 よってsin2A=-sinB となり求めるとsinA=4/5 求める三角形の外側の3つの三角形の和はどちらも75/2sinA 六角形の面積は台形と両側の三角形を足して90sinA 求める面積は90sinA×2-75/2sinA×2=105sinA=84 皆様の解法を勉強します。でもちょっと読ませていただきましたがすぐにはわからなそうです。わら

3月4日（木） 1:41:39　　 　　50245

ゴンとも

方程式が複雑で式を変形して簡明にしても(簡明にしないと答えがでない!!)Maximaのenter押して数秒時間がかかるほど・・・ 座標でA(a,b),C(0,0),D(9,0),F(a+3,b)として 直線AB,CBの交点Bを求め直線EF,EDの交点Eを求め 三平方よりAB,BC,ED,EFからa,b,c,dを求める　Maxima で part(solve([y=c*(x-a)+b,y=d*x],[x,y]),1)$rhs(part(%o1,1))$rhs(part(%o1,2))$ part(solve([y=d*(x-a-3)+b,y=c*(x-9)],[x,y]),1)$rhs(part(%o4,1))$rhs(part(%o4,2))$ num(factor((a-%o2)^2+(b-%o3)^2-10^2))$ num(factor(%o2^2+%o3^2-1^2))$ num(factor((%o5-a-3)^2+(%o6-b)^2-6^2))$ num(factor((%o5-9)^2+%o6^2-5^2))$ expand(%o7-%o8)$ expand(%o9-%o10)$ expand(%o11-%o12)$ part(solve([%o7,%o9,%o11,%o13],[a,b,c,d]),11); ev(rhs(part(%o1,1)),part(%o14,1),part(%o14,2),part(%o14,3),part(%o14,4)); ev(rhs(part(%o1,2)),part(%o14,1),part(%o14,2),part(%o14,3),part(%o14,4)); ev(rhs(part(%o4,1)),part(%o14,1),part(%o14,2),part(%o14,3),part(%o14,4)); ev(rhs(part(%o4,2)),part(%o14,1),part(%o14,2),part(%o14,3),part(%o14,4)); a=27/5,b=44/5,c=4/3,d=-4/3 -3/5,4/5,12,4 より A(27/5,44/5),B(-3/5,4/5),C(0,0),D(9,0),E(12,4),F(42/5,44/5) と決まり　 ヘロンの公式で　Maxima で a1:sqrt((42/5+3/5)^2+(44/5-4/5)^2)$ b1:sqrt((9+3/5)^2+(-4/5)^2)$ c1:sqrt((9-42/5)^2+(44/5)^2)$ expand((a1+b1+c1)*(-a1+b1+c1)*(a1-b1+c1)*(a1+b1-c1))$ sqrt(%)/4$ a2:sqrt((27/5)^2+(44/5)^2)$ b2:sqrt(12^2+4^2)$ c2:sqrt((12-27/5)^2+(4-44/5)^2)$ expand((a2+b2+c2)*(-a2+b2+c2)*(a2-b2+c2)*(a2+b2-c2))$ sqrt(%)/4+%o5;84・・・・・・(答え)

豊川市　　 3月4日（木） 1:56:17　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50246

紫の薔薇の人

#50240 >もともとは、もとの六角形の辺の長さに関わらず、図１と図２が同じ面積になるというネタ 今回の平行四辺形解法に沿って、検証してみました。 ABCDEFを平行四辺形AGDHに埋め込みます。 AC：CD＝t:1-t GB：BA＝s:1-s HE:ED＝u:1-u HF：FA＝v:1-v とすると、BC//EFより、s:t＝u:v よって、sv＝tu・・・・① 図１＝図２を示すには、 □AGDHから図１を除外して残る３三角形の面積和S1と、 □AGDHから図２を除外して残る３三角形の面積和S2が等しいことを示せばよい。 S1/S2＝{t+(1-t)(1-u)+u}/{(1-s)(1-v)+v+s} =(1+tu)/(1+sv) =1(∵①) より、S1=S2 //

3月4日（木） 2:14:42　　 　　50247

Jママ

朝起きて見直したら平行四辺形解法がスッと分かりました！ 不思議と気がつかないものですね…

3月4日（木） 8:29:04　　 　　50248

「数学」小旅行

各辺を延長して、平行四辺形が見えるようにして計算しました。 5-5-6の二等辺三角形が6個できていることに気付きました。 しかし、そうしてみると。。。図1だけで△ACEの面積を求めら れるような？？気のせいかしら？ もしかして、和ならもっと簡単に出るのかな？

3月4日（木） 10:03:33　　 　　50249

巷の夢

A～Fの６点を二つづつ延長し三角形を作り、角度の関係から ２等辺三角形となるため、相似比の二乗が面積比を使い８４ に至りました。しかし、認証できないので、ずーっと考え込んで おりましたが、これしかないと、解答を送付致しました。 因みに、未だ前回の正答でないと入れませんが・・・・。

真白き富士の嶺　　 3月4日（木） 10:33:14　　 　　50250

baLLjugglermoka

3:4:5がポイントでした

3月4日（木） 13:08:26　　 　　50251

kazsyun

各部の面積比から、和となる2つの三角形の面積が同じことは分かったのですが、 3:4:5に気づかず。大苦戦^ ^

3月4日（木） 15:39:49　　 　　50252

ドリトル

めんどいなぁって思ったらそんな解法あったんですか! #50241 灘…だからこんなにムズイんですね。

3月4日（木） 16:14:28　　 　　50253

にこたん

ベクトルで計算しました。。

超ど田舎　　 3月4日（木） 21:20:58　　 　　50254

今年から高齢者

六角形を長方形で囲うと六角形の外に4つの直角三角形ができる 高さ方向から、4つの三角形が相似である。 横方向の長さから、上下の斜辺の長さの和の差10が水平方向6に相当するので 三角形は3:4:5と分かる あとは、各々の寸法を出して、長方形から直角三角形の面積を引いた。

3月4日（木） 22:44:12　　 　　50255

くらげ

数学的な解法じゃないと解けませんでした。 算数の知識だけで解くのはなかなか難しいですね。

3月5日（金） 9:20:17　　 　　50256

くらげ

#50241 この考え方ほんとに素晴らしいですね。 鮮やかです。

3月5日（金） 9:26:44　　 　　50258

Jママ

時間置いて来てみたら#50241の解法が今頃スッと分かりました。 皆さん仰るようにこれは素晴らしい解法ですね。 良問です！

3月5日（金） 17:09:04　　 　　50259

さいと散

#50229 くらげさん 103回だと思います 電卓で8に16を5回かけて608,なので更に576を4回かけると008なので103回かな？

3月5日（金） 19:06:41　　 　　50260

くらげ

#50260 正解です！

3月6日（土） 1:50:13　　 　　50261

にゃもー君（＞ω＜）ノシ

最初問題を見て「うへぇ～」となったのですが、辺の平行移動をして図形の中に無理やり３：４：５の直角三角形を見出し、等積変形を駆使して計算。 奇跡的に答えが整数になって、これか答えか！と確信した次第です。 時間はかかったけど達成感あり。これで寝られます。

浦和　　 3月6日（土） 2:45:14　　 　　50262

くらげ

左右の面積が一致するとは思いませんでした。

3月6日（土） 14:06:51　　 　　50263

蜻蛉

この手の問題はそれっぽく見えてるだけなのか本当にそうなのか混乱してしまう。

3月7日（日） 11:31:01　　 　　50264

くらげ

今年の筑駒中の1番、大学入試のような問題で驚きました。

3月7日（日） 19:44:25　　 　　50265

アストラ

どこに直角三角形ができるんだろ？

3月8日（月） 20:43:49　　 　　50266

くらげ

今週の出題も楽しみですね そろそろ場合の数なんかも出てきそう？

3月10日（水） 9:49:17　　 　　50267

あやのりん

ギリギリセーフ（笑） 外側に足して平行四辺形を作り、二等辺三角形と3:4:5の直角三角形が出てきたので、ごりごり計算しました… 2004年の灘の問題！見ました！ひょー！

海　　 3月10日（水） 15:27:50　　 HomePage:鈴木あやの　　50268

吉川　マサル

2004年の灘の入試問題、私も見てみました。確かに似ている...

Mac　　 3月10日（水） 19:24:55　　 HomePage:算チャレ　　50269

ねねね

わたしも英俊社の「灘中の算数20年」で調べました。古い版と新しい版で解説が違うそうです。解説には？を感じました。もちろん答えはあっています。自明のこととして、平行であることになっていますが、平行であることの根拠を示さないといけないと思いました。平行であるこの証明ができなくて、実は英俊社にメールで問い合わせました。証明していただきまして英俊社の担当の方ありがとうございました。理解できてすっきりしました。

3月10日（水） 21:15:21　　 MAIL:rss70182@nifty.com 　　50270

量子論

灘中の続き 例えば図１の場合なら、Aを通りEEに平行な線を図形内に引く。 同様に、Cを通りABに平行な線、Eを通りCDに平行な線を どちらも図形内にひく。これら３本の平行線の交点は、 辺の長さが 5, 5, 6（底辺）の２等辺三角形となり、 その周りに３つの平行四辺形ができる。 ２等辺三角形は 3:4:5 の直角三角形が２つくっついたもの。 高さの比、長さの比を使えば、周りの面積もすべてわかる。 私が持っている「灘中の算数20年」の解答は、内部に平行線を多数、 ひきすぎの感あり。３本くらいがちょうどよいと思うんですが。 灘とは独立に作問した（しかも見事に3:4:5を埋め込んでる） マサルさんに感服です。充電して、また面白い問題作ってください。

3月10日（水） 23:33:38　　 　　50271

量子論

#50271 つまんないミス。すみません。 Aを通りEEに平行 → FEに平行

3月10日（水） 23:35:30　　 　　50272

くらげ

ほんとですね 似てます！

3月11日（木） 0:46:22　　 　　50273

Mr.ダンディ

【暇つぶし問題】 すごろくであと6つ進めばゴールする地点にいるときに 1～6のサイコロを転がしてゴールするまでにかかる回数の期待値は　？ （目の和がちょうど6でなくとも6以上であればゴールできるとする） 簡単そうで面倒な感じがします　数学の問題です。

3月11日（木） 12:08:35　　 　　50274

Mr.ダンディ

#50274 >「1～6のサイコロを転がして・・・」 ６つあるのではなく「1～6の目のある１つのサイコロ という意味です。

3月11日（木） 14:33:43　　 　　50275

紫の薔薇の人

#50274 残りnマスから上がるのに必要な回数の期待値をＥnとおくと、 E1=1 E2=5/6+1/6(1+E1)=1+1/6E1=7/6 E3=4/6+1/6(1+E1)+1/6(1+E2)=1+1/6(E1+E2)=49/36 E4=1+1/6(E1+E2+E3)=343/216 E5=1+1/6(E1+E2+E3+E4)=2401/1296 E6=1+1/6(E1+E2+E3+E4+E5)=16807/7776 //

3月12日（金） 0:45:45　　 　　50276

紫の薔薇の人

＃50276 Sn＝ΣEnとおくと、 E(n+1)=S(n+1)-S(n)=1+1/6S(n) これを解いて、Sn＝7(7/6)^(n-1)-6 En=Sn-S(n-1)＝(7/6)^(n-1) E6=(7/6)^5 // 最初は、 6　　　　１回　　1/6*1 5・any　　２回　　1/6*2 4・２以上　２回　1/6*1/5*2 4・1・any　３回　1/6*1/6*3 ・・・・ と32個の場合を書きだしたが、計算間違いしない自信がなかったので、 考え直しました。

3月12日（金） 1:34:02　　 　　50277

だいすけ　＠カレー好き

転勤・引っ越しの準備が忙しくてこんなタイミングになってしまいましたが解けました！ 4月から京都に戻ります。

3月12日（金） 22:19:42　　 　　50278

Mr.ダンディ

#50276 ,#50277 紫の薔薇の人さん　取り組んでいただき有難うございます。 わたしも初めに#20276 と同様に計算して同じ答えになりました。 つぎに一般化しようと試みまして ｎが6以下の場合は　紫の薔薇の人さんの#50277 と同様で En＝1+(1/6)(E1+E2+・・+En-1) =1+(1/6)(E1+E2+・・+En-2)+(1/6)En-1 =(7/6)En-1 En＝(7/6)^(n-1) となったのですが 拡張して　ｎ≧7のときは En＝1+(1/6){E(n-6)+E(n-5)+・・+E(n-2)+(En-1)} =1+(1/6){E(n-7)+E(n-6)+E(n-5)+・・+E(n-2)}+(1/6)E(n-1)－1/6)E(n-7) =(7/6)E(n-1)－(1/6)E(n-7) という漸化式ができました。 この場合は　En=(7/6)^(n-1) は成り立たなくなるようですね。

3月12日（金） 22:21:55　　 　　50279

紫の薔薇の人

#50279 >En＝1+(1/6)(E1+E2+・・+En-1) >=1+(1/6)(E1+E2+・・+En-2)+(1/6)En-1 >=(7/6)En-1 直接変形できたのですね。 #50276の計算をしていて、343=7^3、2401=7~4に気づかなかったのは間抜けだなと思っていました。 #50276の計算を6進法でやると、 E1=1 E2=1.1 E3=1.21 E4＝1.331 とパスカルの三角形出てくるの気づいていたから、ここでも気づくチャンスは ああたのですが。 次が、E5=1.4641＝1.5041と桁上がりがあって、追跡止めちゃいました。

3月13日（土） 0:06:56　　 　　50280