紫の薔薇の人
一辺1cmの正三角形の面積の何倍かの典型問題かと思ったが、それだと寸法が合わない気がする。3+10+1＝3+6+5＝14だが、1+9+5＝15だから。
平行六角形ができるのか、答えに√が出ないのか心配しながら、もう一度考えてみる。
　　 3月4日（木） 0:15:33　　 　　50232
ベルク・カッツェ
ＡＢとＣＤを左下に延長、ＡＦとＤＥを右上に延長して平行四辺形に。
左下にできる1ｃｍ、1ｃｍ、1.2ｃｍの二等辺三角形の集まりとして考えて、これを半分にして3：4：5の直角三角形ができて、底辺1.2ｃｍで高さ0.8ｃｍとなりました。
平行四辺形は10.2×8.8、あとは周囲の各三角形を辺の比で求めて、色のついた部分を計算したら98.4になりました。
　　 3月4日（木） 0:23:58　　 　　50233
ベルク・カッツェ
とりあえず計算ミスなどあるかもしれないので検算してみます。
　　 3月4日（木） 0:25:03　　 　　50234
ベルク・カッツェ
まずひとつ訂正、整数倍ではないので集まりではありませんね。
　　 3月4日（木） 0:27:18　　 　　50235
ベルク・カッツェ
三角形の面積がひとつ間違ってました。
正解は84でした。お騒がせしました。
　　 3月4日（木） 0:34:14　　 　　50236
マサル
すみません、正解ファイルを置くのを忘れてました。m(_ _)m
自宅　　 3月4日（木） 0:34:40　　 HomePage:ARENA　　50237
紫の薔薇の人
一辺1cmの正三角形の面積の何倍かの典型問題の出題ミスかと思って、送ってみたら、正解者リストに載ったから、やっぱりそうだったのかな？
その後で、ベルク・カッツェさんの答を見て、考え直しているところ。
　　 3月4日（木） 0:35:46　　 　　50238
ドリトル
#50238同感です。
3:4:5はいけたけど、どこで計算ミスしたのだろう……。
と思ったら、右のやつの右下の計算を
○0.48×15/2
× 0.48×9
にしてました。面倒だった…
　　 3月4日（木） 0:50:51　　 　　50239
マサル
もともとは、もとの六角形の辺の長さに関わらず、図１と図２が同じ面積になるというネタをなんとか問題にしようとして、いろいろやってたら、出来たという...そんな感じです。
自宅　　 3月4日（木） 0:54:16　　 HomePage:ARENA　　50240
量子論
2004年の灘の算数（第１日目）の解き方でいけます。
内部に平行線をひいて区切っていくと、真ん中に
3:4:5の三角形が２つ埋め込まれているのがわかり、
その面積を頼りに周囲の平行四辺形の面積を求めれば
出せます。

すごくいい問題だと思います。
　　 3月4日（木） 1:00:37　　 　　50241
今年から高齢者
六角形は長方形から、3:4:5の三角形を切り取った形？
　　 3月4日（木） 1:00:51　　 　　50242
紫の薔薇の人
典型題のアレンジで平行四辺形に帰着させるのは、思いつきませんでした。
今回は、検算するだけになってしまいました。恥ずかしい。
　　 3月4日（木） 1:05:46　　 　　50243
量子論
#50241 続き

図１と図２で、平行線のひき方は変えましたが、いずれの場合も
真ん中に3:4:5の三角形２つからなる２等辺三角形があり、
そのまわりを３つの平行四辺形が囲むようになります。
平行四辺形の面積半分＋中央の２等辺三角形で求まります。
　　 3月4日（木） 1:10:59　　 　　50244
Jママ
認証できなかったのでしばらく悩んでましたが
思い切って送信したら合ってそうでした
先週の答えのままですね。
分からなくて数学で解きました。
対辺までの距離3つをそれぞれsinA,sinB,sinCで二通りずつ表し、等式で結ぶと
sinA=sinC,6sinA=5sinBとなりました。
六角形の内角の和は720度なので、A+B+C=360度。
よってsin2A=-sinB となり求めるとsinA=4/5
求める三角形の外側の3つの三角形の和はどちらも75/2sinA
六角形の面積は台形と両側の三角形を足して90sinA
求める面積は90sinA×2-75/2sinA×2=105sinA=84

皆様の解法を勉強します。でもちょっと読ませていただきましたがすぐにはわからなそうです。わら
　　 3月4日（木） 1:41:39　　 　　50245
ゴンとも
方程式が複雑で式を変形して簡明にしても(簡明にしないと答えがでない!!)Maximaのenter押して数秒時間がかかるほど・・・

座標でA(a,b),C(0,0),D(9,0),F(a+3,b)として
直線AB,CBの交点Bを求め直線EF,EDの交点Eを求め
三平方よりAB,BC,ED,EFからa,b,c,dを求める　Maxima で

part(solve([y=c*(x-a)+b,y=d*x],[x,y]),1)$rhs(part(%o1,1))$rhs(part(%o1,2))$
part(solve([y=d*(x-a-3)+b,y=c*(x-9)],[x,y]),1)$rhs(part(%o4,1))$rhs(part(%o4,2))$
num(factor((a-%o2)^2+(b-%o3)^2-10^2))$
num(factor(%o2^2+%o3^2-1^2))$
num(factor((%o5-a-3)^2+(%o6-b)^2-6^2))$
num(factor((%o5-9)^2+%o6^2-5^2))$
expand(%o7-%o8)$
expand(%o9-%o10)$
expand(%o11-%o12)$
part(solve([%o7,%o9,%o11,%o13],[a,b,c,d]),11);
ev(rhs(part(%o1,1)),part(%o14,1),part(%o14,2),part(%o14,3),part(%o14,4));
ev(rhs(part(%o1,2)),part(%o14,1),part(%o14,2),part(%o14,3),part(%o14,4));
ev(rhs(part(%o4,1)),part(%o14,1),part(%o14,2),part(%o14,3),part(%o14,4));
ev(rhs(part(%o4,2)),part(%o14,1),part(%o14,2),part(%o14,3),part(%o14,4));

a=27/5,b=44/5,c=4/3,d=-4/3
-3/5,4/5,12,4 より

A(27/5,44/5),B(-3/5,4/5),C(0,0),D(9,0),E(12,4),F(42/5,44/5) と決まり　
ヘロンの公式で　Maxima で

a1:sqrt((42/5+3/5)^2+(44/5-4/5)^2)$
b1:sqrt((9+3/5)^2+(-4/5)^2)$
c1:sqrt((9-42/5)^2+(44/5)^2)$
expand((a1+b1+c1)*(-a1+b1+c1)*(a1-b1+c1)*(a1+b1-c1))$
sqrt(%)/4$
a2:sqrt((27/5)^2+(44/5)^2)$
b2:sqrt(12^2+4^2)$
c2:sqrt((12-27/5)^2+(4-44/5)^2)$
expand((a2+b2+c2)*(-a2+b2+c2)*(a2-b2+c2)*(a2+b2-c2))$
sqrt(%)/4+%o5;84・・・・・・(答え)
豊川市　　 3月4日（木） 1:56:17　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　50246
紫の薔薇の人
#50240

>もともとは、もとの六角形の辺の長さに関わらず、図１と図２が同じ面積になるというネタ

今回の平行四辺形解法に沿って、検証してみました。

ABCDEFを平行四辺形AGDHに埋め込みます。

AC：CD＝t:1-t
GB：BA＝s:1-s
HE:ED＝u:1-u
HF：FA＝v:1-v
とすると、BC//EFより、s:t＝u:v
よって、sv＝tu・・・・��

図１＝図２を示すには、
□AGDHから図１を除外して残る３三角形の面積和S1と、
□AGDHから図２を除外して残る３三角形の面積和S2が等しいことを示せばよい。

S1/S2＝{t+(1-t)(1-u)+u}/{(1-s)(1-v)+v+s}
=(1+tu)/(1+sv)
=1(∵��)

より、S1=S2
//

　　 3月4日（木） 2:14:42　　 　　50247
Jママ
朝起きて見直したら平行四辺形解法がスッと分かりました！
不思議と気がつかないものですね…
　　 3月4日（木） 8:29:04　　 　　50248
「数学」小旅行
各辺を延長して、平行四辺形が見えるようにして計算しました。
5-5-6の二等辺三角形が6個できていることに気付きました。
しかし、そうしてみると。。。図1だけで△ACEの面積を求めら
れるような？？気のせいかしら？
もしかして、和ならもっと簡単に出るのかな？
　　 3月4日（木） 10:03:33　　 　　50249
巷の夢
A〜Fの６点を二つづつ延長し三角形を作り、角度の関係から
２等辺三角形となるため、相似比の二乗が面積比を使い８４
に至りました。しかし、認証できないので、ずーっと考え込んで
おりましたが、これしかないと、解答を送付致しました。
因みに、未だ前回の正答でないと入れませんが・・・・。
真白き富士の嶺　　 3月4日（木） 10:33:14　　 　　50250
baLLjugglermoka
3:4:5がポイントでした
　　 3月4日（木） 13:08:26　　 　　50251
kazsyun
各部の面積比から、和となる2つの三角形の面積が同じことは分かったのですが、
3:4:5に気づかず。大苦戦^ ^
　　 3月4日（木） 15:39:49　　 　　50252
ドリトル
めんどいなぁって思ったらそんな解法あったんですか!
#50241
灘…だからこんなにムズイんですね。
　　 3月4日（木） 16:14:28　　 　　50253
にこたん
ベクトルで計算しました。。
超ど田舎　　 3月4日（木） 21:20:58　　 　　50254
今年から高齢者
六角形を長方形で囲うと六角形の外に4つの直角三角形ができる
高さ方向から、4つの三角形が相似である。
横方向の長さから、上下の斜辺の長さの和の差10が水平方向6に相当するので
三角形は3:4:5と分かる
あとは、各々の寸法を出して、長方形から直角三角形の面積を引いた。
　　 3月4日（木） 22:44:12　　 　　50255
くらげ
数学的な解法じゃないと解けませんでした。
算数の知識だけで解くのはなかなか難しいですね。
　　 3月5日（金） 9:20:17　　 　　50256
くらげ
#50241
この考え方ほんとに素晴らしいですね。
鮮やかです。
　　 3月5日（金） 9:26:44　　 　　50258
Jママ
時間置いて来てみたら#50241の解法が今頃スッと分かりました。
皆さん仰るようにこれは素晴らしい解法ですね。
良問です！
　　 3月5日（金） 17:09:04　　 　　50259
さいと散
#50229 くらげさん 103回だと思います
電卓で8に16を5回かけて608,なので更に576を4回かけると008なので103回かな？
　　 3月5日（金） 19:06:41　　 　　50260
くらげ
#50260
正解です！
　　 3月6日（土） 1:50:13　　 　　50261
にゃもー君（＞ω＜）ノシ
最初問題を見て「うへぇ〜」となったのですが、辺の平行移動をして図形の中に無理やり３：４：５の直角三角形を見出し、等積変形を駆使して計算。
奇跡的に答えが整数になって、これか答えか！と確信した次第です。
時間はかかったけど達成感あり。これで寝られます。
浦和　　 3月6日（土） 2:45:14　　 　　50262
くらげ
左右の面積が一致するとは思いませんでした。
　　 3月6日（土） 14:06:51　　 　　50263
蜻蛉
この手の問題はそれっぽく見えてるだけなのか本当にそうなのか混乱してしまう。
　　 3月7日（日） 11:31:01　　 　　50264
くらげ
今年の筑駒中の1番、大学入試のような問題で驚きました。
　　 3月7日（日） 19:44:25　　 　　50265
アストラ
どこに直角三角形ができるんだろ？
　　 3月8日（月） 20:43:49　　 　　50266
くらげ
今週の出題も楽しみですね
そろそろ場合の数なんかも出てきそう？
　　 3月10日（水） 9:49:17　　 　　50267
あやのりん
ギリギリセーフ（笑）
外側に足して平行四辺形を作り、二等辺三角形と3:4:5の直角三角形が出てきたので、ごりごり計算しました…
2004年の灘の問題！見ました！ひょー！
海　　 3月10日（水） 15:27:50　　 HomePage:鈴木あやの　　50268
吉川　マサル
2004年の灘の入試問題、私も見てみました。確かに似ている...
Mac　　 3月10日（水） 19:24:55　　 HomePage:算チャレ　　50269
ねねね
わたしも英俊社の「灘中の算数20年」で調べました。古い版と新しい版で解説が違うそうです。解説には？を感じました。もちろん答えはあっています。自明のこととして、平行であることになっていますが、平行であることの根拠を示さないといけないと思いました。平行であるこの証明ができなくて、実は英俊社にメールで問い合わせました。証明していただきまして英俊社の担当の方ありがとうございました。理解できてすっきりしました。

　　 3月10日（水） 21:15:21　　 MAIL:rss70182@nifty.com 　　50270
量子論
灘中の続き
例えば図１の場合なら、Aを通りEEに平行な線を図形内に引く。
同様に、Cを通りABに平行な線、Eを通りCDに平行な線を
どちらも図形内にひく。これら３本の平行線の交点は、
辺の長さが 5, 5, 6（底辺）の２等辺三角形となり、
その周りに３つの平行四辺形ができる。
２等辺三角形は 3:4:5 の直角三角形が２つくっついたもの。
高さの比、長さの比を使えば、周りの面積もすべてわかる。
私が持っている「灘中の算数20年」の解答は、内部に平行線を多数、
ひきすぎの感あり。３本くらいがちょうどよいと思うんですが。

灘とは独立に作問した（しかも見事に3:4:5を埋め込んでる）
マサルさんに感服です。充電して、また面白い問題作ってください。
　　 3月10日（水） 23:33:38　　 　　50271
量子論
#50271
つまんないミス。すみません。
Aを通りEEに平行 → FEに平行
　　 3月10日（水） 23:35:30　　 　　50272
くらげ
ほんとですね
似てます！
　　 3月11日（木） 0:46:22　　 　　50273
Mr.ダンディ
【暇つぶし問題】
すごろくであと6つ進めばゴールする地点にいるときに
1〜6のサイコロを転がしてゴールするまでにかかる回数の期待値は　？
（目の和がちょうど6でなくとも6以上であればゴールできるとする）

簡単そうで面倒な感じがします　数学の問題です。
　　 3月11日（木） 12:08:35　　 　　50274
Mr.ダンディ
#50274
>「1〜6のサイコロを転がして・・・」
６つあるのではなく「1〜6の目のある１つのサイコロ
という意味です。
　　 3月11日（木） 14:33:43　　 　　50275
紫の薔薇の人
#50274
残りnマスから上がるのに必要な回数の期待値をＥnとおくと、

E1=1
E2=5/6+1/6(1+E1)=1+1/6E1=7/6
E3=4/6+1/6(1+E1)+1/6(1+E2)=1+1/6(E1+E2)=49/36
E4=1+1/6(E1+E2+E3)=343/216
E5=1+1/6(E1+E2+E3+E4)=2401/1296
E6=1+1/6(E1+E2+E3+E4+E5)=16807/7776

//
　　 3月12日（金） 0:45:45　　 　　50276
紫の薔薇の人
＃50276
Sn＝ΣEnとおくと、
E(n+1)=S(n+1)-S(n)=1+1/6S(n)
これを解いて、Sn＝7(7/6)^(n-1)-6
En=Sn-S(n-1)＝(7/6)^(n-1)
E6=(7/6)^5
//

最初は、
6　　　　１回　　1/6*1
5・any　　２回　　1/6*2
4・２以上　２回　1/6*1/5*2
4・1・any　３回　1/6*1/6*3
・・・・
と32個の場合を書きだしたが、計算間違いしない自信がなかったので、
考え直しました。
　　 3月12日（金） 1:34:02　　 　　50277
だいすけ　＠カレー好き
転勤・引っ越しの準備が忙しくてこんなタイミングになってしまいましたが解けました！
4月から京都に戻ります。
　　 3月12日（金） 22:19:42　　 　　50278
Mr.ダンディ
#50276 ,#50277
紫の薔薇の人さん　取り組んでいただき有難うございます。
わたしも初めに#20276 と同様に計算して同じ答えになりました。
つぎに一般化しようと試みまして

ｎが6以下の場合は　紫の薔薇の人さんの#50277 と同様で
En＝1+(1/6)(E1+E2+・・+En-1)
=1+(1/6)(E1+E2+・・+En-2)+(1/6)En-1
=(7/6)En-1
En＝(7/6)^(n-1)
となったのですが

拡張して　ｎ≧7のときは
En＝1+(1/6){E(n-6)+E(n-5)+・・+E(n-2)+(En-1)}
=1+(1/6){E(n-7)+E(n-6)+E(n-5)+・・+E(n-2)}+(1/6)E(n-1)−1/6)E(n-7)
=(7/6)E(n-1)−(1/6)E(n-7)
という漸化式ができました。

この場合は　En=(7/6)^(n-1) は成り立たなくなるようですね。
　　 3月12日（金） 22:21:55　　 　　50279
紫の薔薇の人
#50279

>En＝1+(1/6)(E1+E2+・・+En-1)
>=1+(1/6)(E1+E2+・・+En-2)+(1/6)En-1
>=(7/6)En-1

直接変形できたのですね。

#50276の計算をしていて、343=7^3、2401=7~4に気づかなかったのは間抜けだなと思っていました。

#50276の計算を6進法でやると、

E1=1
E2=1.1
E3=1.21
E4＝1.331
とパスカルの三角形出てくるの気づいていたから、ここでも気づくチャンスは
ああたのですが。
次が、E5=1.4641＝1.5041と桁上がりがあって、追跡止めちゃいました。
　　 3月13日（土） 0:06:56　　 　　50280